Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15266 / 10277
↖ ↑ ↗
← N 55.547281°
W 12.282715°		 ← 691.11 m → N 55.547281°
W 12.271729°		 →
↑
691.19 m
↓
↑
691.19 m
↓
N 55.541065°
W 12.282715°		 ← 691.22 m →
477 728 m²		 N 55.541065°
W 12.271729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465896606445312 y=0.313644409179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465896606445312 × 215)
    floor (0.465896606445312 × 32768)
    floor (15266.5)     		tx = 15266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313644409179688 × 215)
    floor (0.313644409179688 × 32768)
    floor (10277.5)     		ty = 10277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15266 / 10277 ti = "15/15266/10277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15266/10277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15266 ÷ 215
    15266 ÷ 32768     		x = 0.46588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10277 ÷ 215
    10277 ÷ 32768     		y = 0.313629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21437382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313629150390625 × 2 - 1) × π
    0.37274169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17100258391873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21437382} λ = -0.21437382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17100258391873))-π/2
    2×atan(3.22522457640791)-π/2
    2×1.27013963274837-π/2
    2.54027926549674-1.57079632675     		φ = 0.96948294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21437382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96948294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.547281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15266 KachelY 10277 -0.21437382 0.96948294 -12.282715 55.547281
    Oben rechts KachelX + 1 15267 KachelY 10277 -0.21418207 0.96948294 -12.271729 55.547281
    Unten links KachelX 15266 KachelY + 1 10278 -0.21437382 0.96937445 -12.282715 55.541065
    Unten rechts KachelX + 1 15267 KachelY + 1 10278 -0.21418207 0.96937445 -12.271729 55.541065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96948294-0.96937445) × R
    0.000108490000000017 × 6371000     		dl = 691.189790000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96948294-0.96937445) × R
    0.000108490000000017 × 6371000     		dr = 691.189790000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21437382--0.21418207) × cos(0.96948294) × R
    0.000191749999999991 × 0.56572597098158 × 6371000     		do = 691.113050895425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21437382--0.21418207) × cos(0.96937445) × R
    0.000191749999999991 × 0.565815427780212 × 6371000     		du = 691.222334831813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96948294)-sin(0.96937445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56572597098158-0.565815427780212)×R²
    abs(-0.21418207--0.21437382)×8.9456798631482e-05×R²
    0.000191749999999991×8.9456798631482e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.9456798631482e-05×40589641000000     		ar = 477728.052953508m²