Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15265 / 20772
↖ ↑ ↗
← S 43.357138°
W 12.293701°		 ← 888.19 m → S 43.357138°
W 12.282715°		 →
↑
888.12 m
↓
↑
888.12 m
↓
S 43.365125°
W 12.293701°		 ← 888.08 m →
788 768 m²		 S 43.365125°
W 12.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465866088867188 y=0.633926391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465866088867188 × 215)
    floor (0.465866088867188 × 32768)
    floor (15265.5)     		tx = 15265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633926391601562 × 215)
    floor (0.633926391601562 × 32768)
    floor (20772.5)     		ty = 20772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15265 / 20772 ti = "15/15265/20772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15265/20772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15265 ÷ 215
    15265 ÷ 32768     		x = 0.465850830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20772 ÷ 215
    20772 ÷ 32768     		y = 0.6339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465850830078125 × 2 - 1) × π
    -0.06829833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21456556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.841388462131226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21456556} λ = -0.21456556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841388462131226))-π/2
    2×atan(0.43111152565474)-π/2
    2×0.407035755297136-π/2
    0.814071510594273-1.57079632675     		φ = -0.75672482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21456556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.293701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75672482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.357138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15265 KachelY 20772 -0.21456556 -0.75672482 -12.293701 -43.357138
    Oben rechts KachelX + 1 15266 KachelY 20772 -0.21437382 -0.75672482 -12.282715 -43.357138
    Unten links KachelX 15265 KachelY + 1 20773 -0.21456556 -0.75686422 -12.293701 -43.365125
    Unten rechts KachelX + 1 15266 KachelY + 1 20773 -0.21437382 -0.75686422 -12.282715 -43.365125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75672482--0.75686422) × R
    0.000139400000000012 × 6371000     		dl = 888.117400000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75672482--0.75686422) × R
    0.000139400000000012 × 6371000     		dr = 888.117400000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21456556--0.21437382) × cos(-0.75672482) × R
    0.000191739999999996 × 0.727088460862169 × 6371000     		do = 888.193479205454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21456556--0.21437382) × cos(-0.75686422) × R
    0.000191739999999996 × 0.72699274959419 × 6371000     		du = 888.076560661588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75672482)-sin(-0.75686422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727088460862169-0.72699274959419)×R²
    abs(-0.21437382--0.21456556)×9.57112679793592e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57112679793592e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57112679793592e-05×40589641000000     		ar = 788768.166029084m²