Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15262 / 8223
↖ ↑ ↗
← N 66.377158°
W 12.326660°		 ← 489.53 m → N 66.377158°
W 12.315674°		 →
↑
489.55 m
↓
↑
489.55 m
↓
N 66.372755°
W 12.326660°		 ← 489.61 m →
239 669 m²		 N 66.372755°
W 12.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465774536132812 y=0.250961303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465774536132812 × 215)
    floor (0.465774536132812 × 32768)
    floor (15262.5)     		tx = 15262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250961303710938 × 215)
    floor (0.250961303710938 × 32768)
    floor (8223.5)     		ty = 8223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15262 / 8223 ti = "15/15262/8223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15262/8223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15262 ÷ 215
    15262 ÷ 32768     		x = 0.46575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8223 ÷ 215
    8223 ÷ 32768     		y = 0.250946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21514081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250946044921875 × 2 - 1) × π
    0.49810791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.56485215119711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21514081} λ = -0.21514081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56485215119711))-π/2
    2×atan(4.78196787540171)-π/2
    2×1.36464813897477-π/2
    2.72929627794955-1.57079632675     		φ = 1.15849995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21514081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15849995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.377158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15262 KachelY 8223 -0.21514081 1.15849995 -12.326660 66.377158
    Oben rechts KachelX + 1 15263 KachelY 8223 -0.21494906 1.15849995 -12.315674 66.377158
    Unten links KachelX 15262 KachelY + 1 8224 -0.21514081 1.15842311 -12.326660 66.372755
    Unten rechts KachelX + 1 15263 KachelY + 1 8224 -0.21494906 1.15842311 -12.315674 66.372755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15849995-1.15842311) × R
    7.68399999999669e-05 × 6371000     		dl = 489.547639999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15849995-1.15842311) × R
    7.68399999999669e-05 × 6371000     		dr = 489.547639999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21514081--0.21494906) × cos(1.15849995) × R
    0.000191749999999991 × 0.400714330106996 × 6371000     		do = 489.528353696139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21514081--0.21494906) × cos(1.15842311) × R
    0.000191749999999991 × 0.400784729966169 × 6371000     		du = 489.614356927299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15849995)-sin(1.15842311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400714330106996-0.400784729966169)×R²
    abs(-0.21494906--0.21514081)×7.03998591732868e-05×R²
    0.000191749999999991×7.03998591732868e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.03998591732868e-05×40589641000000     		ar = 239668.501722066m²