Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15262 / 14462
↖ ↑ ↗
← S 79.679314°
E155.346680°		 ← 437.73 m → S 79.679314°
E155.368652°		 →
↑
437.69 m
↓
↑
437.69 m
↓
S 79.683250°
E155.346680°		 ← 437.57 m →
191 554 m²		 S 79.683250°
E155.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931549072265625 y=0.882720947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931549072265625 × 214)
    floor (0.931549072265625 × 16384)
    floor (15262.5)     		tx = 15262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882720947265625 × 214)
    floor (0.882720947265625 × 16384)
    floor (14462.5)     		ty = 14462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15262 / 14462 ti = "14/15262/14462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15262/14462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15262 ÷ 214
    15262 ÷ 16384     		x = 0.9315185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14462 ÷ 214
    14462 ÷ 16384     		y = 0.8826904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9315185546875 × 2 - 1) × π
    0.863037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71131104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.765380859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40451488494202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71131104} λ = 2.71131104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40451488494202))-π/2
    2×atan(0.0903092953840269)-π/2
    2×0.0900649759298672-π/2
    0.180129951859734-1.57079632675     		φ = -1.39066637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71131104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39066637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.679314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15262 KachelY 14462 2.71131104 -1.39066637 155.346680 -79.679314
    Oben rechts KachelX + 1 15263 KachelY 14462 2.71169454 -1.39066637 155.368652 -79.679314
    Unten links KachelX 15262 KachelY + 1 14463 2.71131104 -1.39073507 155.346680 -79.683250
    Unten rechts KachelX + 1 15263 KachelY + 1 14463 2.71169454 -1.39073507 155.368652 -79.683250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39066637--1.39073507) × R
    6.87000000001436e-05 × 6371000     		dl = 437.687700000915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39066637--1.39073507) × R
    6.87000000001436e-05 × 6371000     		dr = 437.687700000915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71131104-2.71169454) × cos(-1.39066637) × R
    0.00038349999999987 × 0.179157429086664 × 6371000     		do = 437.731494602572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71131104-2.71169454) × cos(-1.39073507) × R
    0.00038349999999987 × 0.179089840201191 × 6371000     		du = 437.566356131858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39066637)-sin(-1.39073507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179157429086664-0.179089840201191)×R²
    abs(2.71169454-2.71131104)×6.75888854728135e-05×R²
    0.00038349999999987×6.75888854728135e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.75888854728135e-05×40589641000000     		ar = 191553.551627528m²