Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15262 / 10123
↖ ↑ ↗
← N 56.492827°
W 12.326660°		 ← 674.40 m → N 56.492827°
W 12.315674°		 →
↑
674.43 m
↓
↑
674.43 m
↓
N 56.486762°
W 12.326660°		 ← 674.50 m →
454 872 m²		 N 56.486762°
W 12.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465774536132812 y=0.308944702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465774536132812 × 215)
    floor (0.465774536132812 × 32768)
    floor (15262.5)     		tx = 15262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308944702148438 × 215)
    floor (0.308944702148438 × 32768)
    floor (10123.5)     		ty = 10123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15262 / 10123 ti = "15/15262/10123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15262/10123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15262 ÷ 215
    15262 ÷ 32768     		x = 0.46575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10123 ÷ 215
    10123 ÷ 32768     		y = 0.308929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21514081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308929443359375 × 2 - 1) × π
    0.38214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20053171408469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21514081} λ = -0.21514081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20053171408469))-π/2
    2×atan(3.32188274508187)-π/2
    2×1.27839108210835-π/2
    2.5567821642167-1.57079632675     		φ = 0.98598584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21514081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98598584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.492827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15262 KachelY 10123 -0.21514081 0.98598584 -12.326660 56.492827
    Oben rechts KachelX + 1 15263 KachelY 10123 -0.21494906 0.98598584 -12.315674 56.492827
    Unten links KachelX 15262 KachelY + 1 10124 -0.21514081 0.98587998 -12.326660 56.486762
    Unten rechts KachelX + 1 15263 KachelY + 1 10124 -0.21494906 0.98587998 -12.315674 56.486762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98598584-0.98587998) × R
    0.000105860000000013 × 6371000     		dl = 674.434060000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98598584-0.98587998) × R
    0.000105860000000013 × 6371000     		dr = 674.434060000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21514081--0.21494906) × cos(0.98598584) × R
    0.000191749999999991 × 0.552041372965453 × 6371000     		do = 674.395408838453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21514081--0.21494906) × cos(0.98587998) × R
    0.000191749999999991 × 0.552129637710084 × 6371000     		du = 674.503236514886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98598584)-sin(0.98587998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552041372965453-0.552129637710084)×R²
    abs(-0.21494906--0.21514081)×8.82647446317497e-05×R²
    0.000191749999999991×8.82647446317497e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.82647446317497e-05×40589641000000     		ar = 454871.595382m²