Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15261 / 20779
↖ ↑ ↗
← S 43.413029°
W 12.337646°		 ← 887.37 m → S 43.413029°
W 12.326660°		 →
↑
887.35 m
↓
↑
887.35 m
↓
S 43.421009°
W 12.337646°		 ← 887.26 m →
787 363 m²		 S 43.421009°
W 12.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465744018554688 y=0.634140014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465744018554688 × 215)
    floor (0.465744018554688 × 32768)
    floor (15261.5)     		tx = 15261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634140014648438 × 215)
    floor (0.634140014648438 × 32768)
    floor (20779.5)     		ty = 20779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15261 / 20779 ti = "15/15261/20779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15261/20779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15261 ÷ 215
    15261 ÷ 32768     		x = 0.465728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20779 ÷ 215
    20779 ÷ 32768     		y = 0.634124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.06854248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21533255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634124755859375 × 2 - 1) × π
    -0.26824951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.842730695320587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21533255} λ = -0.21533255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842730695320587))-π/2
    2×atan(0.430533261626092)-π/2
    2×0.406548019000369-π/2
    0.813096038000738-1.57079632675     		φ = -0.75770029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21533255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.337646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75770029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.413029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15261 KachelY 20779 -0.21533255 -0.75770029 -12.337646 -43.413029
    Oben rechts KachelX + 1 15262 KachelY 20779 -0.21514081 -0.75770029 -12.326660 -43.413029
    Unten links KachelX 15261 KachelY + 1 20780 -0.21533255 -0.75783957 -12.337646 -43.421009
    Unten rechts KachelX + 1 15262 KachelY + 1 20780 -0.21514081 -0.75783957 -12.326660 -43.421009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75770029--0.75783957) × R
    0.000139279999999964 × 6371000     		dl = 887.35287999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75770029--0.75783957) × R
    0.000139279999999964 × 6371000     		dr = 887.35287999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21533255--0.21514081) × cos(-0.75770029) × R
    0.000191740000000024 × 0.726418412173983 × 6371000     		do = 887.374964117484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21533255--0.21514081) × cos(-0.75783957) × R
    0.000191740000000024 × 0.726322684570668 × 6371000     		du = 887.258025618773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75770029)-sin(-0.75783957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726418412173983-0.726322684570668)×R²
    abs(-0.21514081--0.21533255)×9.57276033143328e-05×R²
    0.000191740000000024×9.57276033143328e-05×6371000²
    0.000191740000000024×9.57276033143328e-05×40589641000000     		ar = 787362.848465926m²