Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15261 / 10147
↖ ↑ ↗
← N 56.346990°
W 12.337646°		 ← 676.95 m → N 56.346990°
W 12.326660°		 →
↑
677.05 m
↓
↑
677.05 m
↓
N 56.340901°
W 12.337646°		 ← 677.06 m →
458 363 m²		 N 56.340901°
W 12.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465744018554688 y=0.309677124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465744018554688 × 215)
    floor (0.465744018554688 × 32768)
    floor (15261.5)     		tx = 15261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309677124023438 × 215)
    floor (0.309677124023438 × 32768)
    floor (10147.5)     		ty = 10147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15261 / 10147 ti = "15/15261/10147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15261/10147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15261 ÷ 215
    15261 ÷ 32768     		x = 0.465728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10147 ÷ 215
    10147 ÷ 32768     		y = 0.309661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.06854248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21533255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309661865234375 × 2 - 1) × π
    0.38067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19592977172116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21533255} λ = -0.21533255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19592977172116))-π/2
    2×atan(3.30663075346086)-π/2
    2×1.27711841201502-π/2
    2.55423682403005-1.57079632675     		φ = 0.98344050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21533255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.337646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98344050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.346990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15261 KachelY 10147 -0.21533255 0.98344050 -12.337646 56.346990
    Oben rechts KachelX + 1 15262 KachelY 10147 -0.21514081 0.98344050 -12.326660 56.346990
    Unten links KachelX 15261 KachelY + 1 10148 -0.21533255 0.98333423 -12.337646 56.340901
    Unten rechts KachelX + 1 15262 KachelY + 1 10148 -0.21514081 0.98333423 -12.326660 56.340901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98344050-0.98333423) × R
    0.000106270000000075 × 6371000     		dl = 677.046170000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98344050-0.98333423) × R
    0.000106270000000075 × 6371000     		dr = 677.046170000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21533255--0.21514081) × cos(0.98344050) × R
    0.000191740000000024 × 0.554161929454183 × 6371000     		do = 676.950658220518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21533255--0.21514081) × cos(0.98333423) × R
    0.000191740000000024 × 0.554250386417326 × 6371000     		du = 677.058715083037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98344050)-sin(0.98333423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554161929454183-0.554250386417326)×R²
    abs(-0.21514081--0.21533255)×8.84569631431908e-05×R²
    0.000191740000000024×8.84569631431908e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.84569631431908e-05×40589641000000     		ar = 458363.430601135m²