Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15260 / 20782
↖ ↑ ↗
← S 43.436966°
W 12.348633°		 ← 887.07 m → S 43.436966°
W 12.337646°		 →
↑
887.03 m
↓
↑
887.03 m
↓
S 43.444943°
W 12.348633°		 ← 886.95 m →
786 810 m²		 S 43.444943°
W 12.337646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465713500976562 y=0.634231567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465713500976562 × 215)
    floor (0.465713500976562 × 32768)
    floor (15260.5)     		tx = 15260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634231567382812 × 215)
    floor (0.634231567382812 × 32768)
    floor (20782.5)     		ty = 20782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15260 / 20782 ti = "15/15260/20782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15260/20782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15260 ÷ 215
    15260 ÷ 32768     		x = 0.4656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20782 ÷ 215
    20782 ÷ 32768     		y = 0.63421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21552430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63421630859375 × 2 - 1) × π
    -0.2684326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.843305938116028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21552430} λ = -0.21552430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843305938116028))-π/2
    2×atan(0.430285671688136)-π/2
    2×0.406339126821312-π/2
    0.812678253642624-1.57079632675     		φ = -0.75811807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21552430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75811807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.436966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15260 KachelY 20782 -0.21552430 -0.75811807 -12.348633 -43.436966
    Oben rechts KachelX + 1 15261 KachelY 20782 -0.21533255 -0.75811807 -12.337646 -43.436966
    Unten links KachelX 15260 KachelY + 1 20783 -0.21552430 -0.75825730 -12.348633 -43.444943
    Unten rechts KachelX + 1 15261 KachelY + 1 20783 -0.21533255 -0.75825730 -12.337646 -43.444943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75811807--0.75825730) × R
    0.000139230000000046 × 6371000     		dl = 887.034330000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75811807--0.75825730) × R
    0.000139230000000046 × 6371000     		dr = 887.034330000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21552430--0.21533255) × cos(-0.75811807) × R
    0.000191749999999991 × 0.726131228349643 × 6371000     		do = 887.070409202593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21552430--0.21533255) × cos(-0.75825730) × R
    0.000191749999999991 × 0.726035492871207 × 6371000     		du = 886.953454984518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75811807)-sin(-0.75825730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726131228349643-0.726035492871207)×R²
    abs(-0.21533255--0.21552430)×9.57354784355546e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57354784355546e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57354784355546e-05×40589641000000     		ar = 786810.036158309m²