Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1526 / 2539
↖ ↑ ↗
← S 39.571822°
W 45.878906°		 ← 7 533.28 m → S 39.571822°
W 45.791016°		 →
↑
7 529.57 m
↓
↑
7 529.57 m
↓
S 39.639537°
W 45.878906°		 ← 7 525.92 m →
56 694 604 m²		 S 39.639537°
W 45.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3726806640625 y=0.6199951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3726806640625 × 212)
    floor (0.3726806640625 × 4096)
    floor (1526.5)     		tx = 1526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6199951171875 × 212)
    floor (0.6199951171875 × 4096)
    floor (2539.5)     		ty = 2539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1526 / 2539 ti = "12/1526/2539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1526/2539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1526 ÷ 212
    1526 ÷ 4096     		x = 0.37255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2539 ÷ 212
    2539 ÷ 4096     		y = 0.619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37255859375 × 2 - 1) × π
    -0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.23974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.753184566830322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80073797} λ = -0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753184566830322))-π/2
    2×atan(0.470864662589462)-π/2
    2×0.440068868877967-π/2
    0.880137737755934-1.57079632675     		φ = -0.69065859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69065859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.571822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1526 KachelY 2539 -0.80073797 -0.69065859 -45.878906 -39.571822
    Oben rechts KachelX + 1 1527 KachelY 2539 -0.79920399 -0.69065859 -45.791016 -39.571822
    Unten links KachelX 1526 KachelY + 1 2540 -0.80073797 -0.69184044 -45.878906 -39.639537
    Unten rechts KachelX + 1 1527 KachelY + 1 2540 -0.79920399 -0.69184044 -45.791016 -39.639537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69065859--0.69184044) × R
    0.00118185000000004 × 6371000     		dl = 7529.56635000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69065859--0.69184044) × R
    0.00118185000000004 × 6371000     		dr = 7529.56635000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80073797--0.79920399) × cos(-0.69065859) × R
    0.00153398000000005 × 0.770826630744151 × 6371000     		do = 7533.27831776943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80073797--0.79920399) × cos(-0.69184044) × R
    0.00153398000000005 × 0.770073200977456 × 6371000     		du = 7525.91505877055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69065859)-sin(-0.69184044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770826630744151-0.770073200977456)×R²
    abs(-0.79920399--0.80073797)×0.000753429766694791×R²
    0.00153398000000005×0.000753429766694791×6371000²
    0.00153398000000005×0.000753429766694791×40589641000000     		ar = 56694604.4521796m²