Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15259 / 8485
↖ ↑ ↗
← N 65.196860°
W 12.359619°		 ← 512.48 m → N 65.196860°
W 12.348633°		 →
↑
512.55 m
↓
↑
512.55 m
↓
N 65.192251°
W 12.359619°		 ← 512.57 m →
262 693 m²		 N 65.192251°
W 12.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465682983398438 y=0.258956909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465682983398438 × 215)
    floor (0.465682983398438 × 32768)
    floor (15259.5)     		tx = 15259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258956909179688 × 215)
    floor (0.258956909179688 × 32768)
    floor (8485.5)     		ty = 8485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15259 / 8485 ti = "15/15259/8485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15259/8485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15259 ÷ 215
    15259 ÷ 32768     		x = 0.465667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8485 ÷ 215
    8485 ÷ 32768     		y = 0.258941650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.06866455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21571605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258941650390625 × 2 - 1) × π
    0.48211669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51461428039529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21571605} λ = -0.21571605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51461428039529))-π/2
    2×atan(4.54766666431401)-π/2
    2×1.35434809819739-π/2
    2.70869619639478-1.57079632675     		φ = 1.13789987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21571605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.359619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13789987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.196860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15259 KachelY 8485 -0.21571605 1.13789987 -12.359619 65.196860
    Oben rechts KachelX + 1 15260 KachelY 8485 -0.21552430 1.13789987 -12.348633 65.196860
    Unten links KachelX 15259 KachelY + 1 8486 -0.21571605 1.13781942 -12.359619 65.192251
    Unten rechts KachelX + 1 15260 KachelY + 1 8486 -0.21552430 1.13781942 -12.348633 65.192251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13789987-1.13781942) × R
    8.04500000000097e-05 × 6371000     		dl = 512.546950000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13789987-1.13781942) × R
    8.04500000000097e-05 × 6371000     		dr = 512.546950000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21571605--0.21552430) × cos(1.13789987) × R
    0.000191749999999991 × 0.41950183011027 × 6371000     		do = 512.479901109513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21571605--0.21552430) × cos(1.13781942) × R
    0.000191749999999991 × 0.41957485760138 × 6371000     		du = 512.569114358982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13789987)-sin(1.13781942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41950183011027-0.41957485760138)×R²
    abs(-0.21552430--0.21571605)×7.30274911098783e-05×R²
    0.000191749999999991×7.30274911098783e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.30274911098783e-05×40589641000000     		ar = 262692.873380954m²