Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15259 / 14479
↖ ↑ ↗
← S 79.746021°
E155.280762°		 ← 434.92 m → S 79.746021°
E155.302734°		 →
↑
434.82 m
↓
↑
434.82 m
↓
S 79.749932°
E155.280762°		 ← 434.76 m →
189 077 m²		 S 79.749932°
E155.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931365966796875 y=0.883758544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931365966796875 × 214)
    floor (0.931365966796875 × 16384)
    floor (15259.5)     		tx = 15259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883758544921875 × 214)
    floor (0.883758544921875 × 16384)
    floor (14479.5)     		ty = 14479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15259 / 14479 ti = "14/15259/14479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15259/14479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15259 ÷ 214
    15259 ÷ 16384     		x = 0.93133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14479 ÷ 214
    14479 ÷ 16384     		y = 0.88372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93133544921875 × 2 - 1) × π
    0.8626708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71016056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88372802734375 × 2 - 1) × π
    -0.7674560546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41103430329034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71016056} λ = 2.71016056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41103430329034))-π/2
    2×atan(0.0897224463424404)-π/2
    2×0.0894828438375537-π/2
    0.178965687675107-1.57079632675     		φ = -1.39183064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71016056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.280762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39183064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.746021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15259 KachelY 14479 2.71016056 -1.39183064 155.280762 -79.746021
    Oben rechts KachelX + 1 15260 KachelY 14479 2.71054405 -1.39183064 155.302734 -79.746021
    Unten links KachelX 15259 KachelY + 1 14480 2.71016056 -1.39189889 155.280762 -79.749932
    Unten rechts KachelX + 1 15260 KachelY + 1 14480 2.71054405 -1.39189889 155.302734 -79.749932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39183064--1.39189889) × R
    6.82499999999919e-05 × 6371000     		dl = 434.820749999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39183064--1.39189889) × R
    6.82499999999919e-05 × 6371000     		dr = 434.820749999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71016056-2.71054405) × cos(-1.39183064) × R
    0.000383490000000375 × 0.178011875320804 × 6371000     		do = 434.921246579849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71016056-2.71054405) × cos(-1.39189889) × R
    0.000383490000000375 × 0.177944714972114 × 6371000     		du = 434.757159422628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39183064)-sin(-1.39189889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178011875320804-0.177944714972114)×R²
    abs(2.71054405-2.71016056)×6.71603486898653e-05×R²
    0.000383490000000375×6.71603486898653e-05×6371000²
    0.000383490000000375×6.71603486898653e-05×40589641000000     		ar = 189077.108450512m²