Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15258 / 20780
↖ ↑ ↗
← S 43.421009°
W 12.370606°		 ← 887.30 m → S 43.421009°
W 12.359619°		 →
↑
887.23 m
↓
↑
887.23 m
↓
S 43.428988°
W 12.370606°		 ← 887.19 m →
787 187 m²		 S 43.428988°
W 12.359619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465652465820312 y=0.634170532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465652465820312 × 215)
    floor (0.465652465820312 × 32768)
    floor (15258.5)     		tx = 15258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634170532226562 × 215)
    floor (0.634170532226562 × 32768)
    floor (20780.5)     		ty = 20780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15258 / 20780 ti = "15/15258/20780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15258/20780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15258 ÷ 215
    15258 ÷ 32768     		x = 0.46563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20780 ÷ 215
    20780 ÷ 32768     		y = 0.6341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.0687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21590780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.842922442919067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21590780} λ = -0.21590780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842922442919067))-π/2
    2×atan(0.430450715821342)-π/2
    2×0.406478379096143-π/2
    0.812956758192285-1.57079632675     		φ = -0.75783957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21590780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.370606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75783957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.421009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15258 KachelY 20780 -0.21590780 -0.75783957 -12.370606 -43.421009
    Oben rechts KachelX + 1 15259 KachelY 20780 -0.21571605 -0.75783957 -12.359619 -43.421009
    Unten links KachelX 15258 KachelY + 1 20781 -0.21590780 -0.75797883 -12.370606 -43.428988
    Unten rechts KachelX + 1 15259 KachelY + 1 20781 -0.21571605 -0.75797883 -12.359619 -43.428988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75783957--0.75797883) × R
    0.000139259999999974 × 6371000     		dl = 887.225459999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75783957--0.75797883) × R
    0.000139259999999974 × 6371000     		dr = 887.225459999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21590780--0.21571605) × cos(-0.75783957) × R
    0.000191750000000018 × 0.726322684570668 × 6371000     		do = 887.304299636982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21590780--0.21571605) × cos(-0.75797883) × R
    0.000191750000000018 × 0.72622695662658 × 6371000     		du = 887.187354623163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75783957)-sin(-0.75797883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726322684570668-0.72622695662658)×R²
    abs(-0.21571605--0.21590780)×9.57279440881864e-05×R²
    0.000191750000000018×9.57279440881864e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.57279440881864e-05×40589641000000     		ar = 787187.088380735m²