Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15258 / 14470
↖ ↑ ↗
← S 79.710759°
E155.258789°		 ← 436.41 m → S 79.710759°
E155.280762°		 →
↑
436.35 m
↓
↑
436.35 m
↓
S 79.714683°
E155.258789°		 ← 436.25 m →
190 392 m²		 S 79.714683°
E155.280762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931304931640625 y=0.883209228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931304931640625 × 214)
    floor (0.931304931640625 × 16384)
    floor (15258.5)     		tx = 15258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883209228515625 × 214)
    floor (0.883209228515625 × 16384)
    floor (14470.5)     		ty = 14470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15258 / 14470 ti = "14/15258/14470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15258/14470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15258 ÷ 214
    15258 ÷ 16384     		x = 0.9312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14470 ÷ 214
    14470 ÷ 16384     		y = 0.8831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9312744140625 × 2 - 1) × π
    0.862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70977706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8831787109375 × 2 - 1) × π
    -0.766357421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4075828465177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70977706} λ = 2.70977706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4075828465177))-π/2
    2×atan(0.0900326545146281)-π/2
    2×0.0897905662338147-π/2
    0.179581132467629-1.57079632675     		φ = -1.39121519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70977706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39121519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.710759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15258 KachelY 14470 2.70977706 -1.39121519 155.258789 -79.710759
    Oben rechts KachelX + 1 15259 KachelY 14470 2.71016056 -1.39121519 155.280762 -79.710759
    Unten links KachelX 15258 KachelY + 1 14471 2.70977706 -1.39128368 155.258789 -79.714683
    Unten rechts KachelX + 1 15259 KachelY + 1 14471 2.71016056 -1.39128368 155.280762 -79.714683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39121519--1.39128368) × R
    6.84899999998656e-05 × 6371000     		dl = 436.349789999144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39121519--1.39128368) × R
    6.84899999998656e-05 × 6371000     		dr = 436.349789999144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70977706-2.71016056) × cos(-1.39121519) × R
    0.00038349999999987 × 0.178617461810347 × 6371000     		do = 436.412204165644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70977706-2.71016056) × cos(-1.39128368) × R
    0.00038349999999987 × 0.178550072806865 × 6371000     		du = 436.247554062301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39121519)-sin(-1.39128368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178617461810347-0.178550072806865)×R²
    abs(2.71016056-2.70977706)×6.73890034813829e-05×R²
    0.00038349999999987×6.73890034813829e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.73890034813829e-05×40589641000000     		ar = 190392.451195919m²