Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15258 / 10121
↖ ↑ ↗
← N 56.504955°
W 12.370606°		 ← 674.18 m → N 56.504955°
W 12.359619°		 →
↑
674.24 m
↓
↑
674.24 m
↓
N 56.498891°
W 12.370606°		 ← 674.29 m →
454 597 m²		 N 56.498891°
W 12.359619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465652465820312 y=0.308883666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465652465820312 × 215)
    floor (0.465652465820312 × 32768)
    floor (15258.5)     		tx = 15258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308883666992188 × 215)
    floor (0.308883666992188 × 32768)
    floor (10121.5)     		ty = 10121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15258 / 10121 ti = "15/15258/10121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15258/10121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15258 ÷ 215
    15258 ÷ 32768     		x = 0.46563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10121 ÷ 215
    10121 ÷ 32768     		y = 0.308868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.0687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21590780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308868408203125 × 2 - 1) × π
    0.38226318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20091520928165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21590780} λ = -0.21590780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20091520928165))-π/2
    2×atan(3.32315691546297)-π/2
    2×1.27849691779334-π/2
    2.55699383558668-1.57079632675     		φ = 0.98619751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21590780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.370606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98619751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.504955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15258 KachelY 10121 -0.21590780 0.98619751 -12.370606 56.504955
    Oben rechts KachelX + 1 15259 KachelY 10121 -0.21571605 0.98619751 -12.359619 56.504955
    Unten links KachelX 15258 KachelY + 1 10122 -0.21590780 0.98609168 -12.370606 56.498891
    Unten rechts KachelX + 1 15259 KachelY + 1 10122 -0.21571605 0.98609168 -12.359619 56.498891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98619751-0.98609168) × R
    0.000105829999999973 × 6371000     		dl = 674.242929999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98619751-0.98609168) × R
    0.000105829999999973 × 6371000     		dr = 674.242929999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21590780--0.21571605) × cos(0.98619751) × R
    0.000191750000000018 × 0.551864866614768 × 6371000     		do = 674.179781752679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21590780--0.21571605) × cos(0.98609168) × R
    0.000191750000000018 × 0.551953118711961 × 6371000     		du = 674.287593978505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98619751)-sin(0.98609168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551864866614768-0.551953118711961)×R²
    abs(-0.21571605--0.21590780)×8.82520971934309e-05×R²
    0.000191750000000018×8.82520971934309e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.82520971934309e-05×40589641000000     		ar = 454597.297635311m²