Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15257 / 10236
↖ ↑ ↗
← N 55.801281°
W 12.381592°		 ← 686.60 m → N 55.801281°
W 12.370606°		 →
↑
686.67 m
↓
↑
686.67 m
↓
N 55.795106°
W 12.381592°		 ← 686.71 m →
471 506 m²		 N 55.795106°
W 12.370606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465621948242188 y=0.312393188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465621948242188 × 215)
    floor (0.465621948242188 × 32768)
    floor (15257.5)     		tx = 15257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312393188476562 × 215)
    floor (0.312393188476562 × 32768)
    floor (10236.5)     		ty = 10236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15257 / 10236 ti = "15/15257/10236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15257/10236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15257 ÷ 215
    15257 ÷ 32768     		x = 0.465606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10236 ÷ 215
    10236 ÷ 32768     		y = 0.3123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.06878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21609954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3123779296875 × 2 - 1) × π
    0.375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17886423545642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21609954} λ = -0.21609954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17886423545642))-π/2
    2×atan(3.25068009827212)-π/2
    2×1.27235620327676-π/2
    2.54471240655352-1.57079632675     		φ = 0.97391608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21609954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.381592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97391608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.801281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15257 KachelY 10236 -0.21609954 0.97391608 -12.381592 55.801281
    Oben rechts KachelX + 1 15258 KachelY 10236 -0.21590780 0.97391608 -12.370606 55.801281
    Unten links KachelX 15257 KachelY + 1 10237 -0.21609954 0.97380830 -12.381592 55.795106
    Unten rechts KachelX + 1 15258 KachelY + 1 10237 -0.21590780 0.97380830 -12.370606 55.795106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97391608-0.97380830) × R
    0.000107780000000002 × 6371000     		dl = 686.666380000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97391608-0.97380830) × R
    0.000107780000000002 × 6371000     		dr = 686.666380000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21609954--0.21590780) × cos(0.97391608) × R
    0.000191739999999996 × 0.562064886351038 × 6371000     		do = 686.604717059293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21609954--0.21590780) × cos(0.97380830) × R
    0.000191739999999996 × 0.562154027184957 × 6371000     		du = 686.713609321624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97391608)-sin(0.97380830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562064886351038-0.562154027184957)×R²
    abs(-0.21590780--0.21609954)×8.91408339196431e-05×R²
    0.000191739999999996×8.91408339196431e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.91408339196431e-05×40589641000000     		ar = 471505.762338551m²