Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15256 / 14476
↖ ↑ ↗
← S 79.734280°
E155.214844°		 ← 435.43 m → S 79.734280°
E155.236817°		 →
↑
435.33 m
↓
↑
435.33 m
↓
S 79.738195°
E155.214844°		 ← 435.26 m →
189 518 m²		 S 79.738195°
E155.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931182861328125 y=0.883575439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931182861328125 × 214)
    floor (0.931182861328125 × 16384)
    floor (15256.5)     		tx = 15256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883575439453125 × 214)
    floor (0.883575439453125 × 16384)
    floor (14476.5)     		ty = 14476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15256 / 14476 ti = "14/15256/14476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15256/14476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15256 ÷ 214
    15256 ÷ 16384     		x = 0.93115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14476 ÷ 214
    14476 ÷ 16384     		y = 0.883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93115234375 × 2 - 1) × π
    0.8623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70901007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883544921875 × 2 - 1) × π
    -0.76708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40988381769946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70901007} λ = 2.70901007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40988381769946))-π/2
    2×atan(0.089825730125996)-π/2
    2×0.089585301872078-π/2
    0.179170603744156-1.57079632675     		φ = -1.39162572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70901007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39162572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.734280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15256 KachelY 14476 2.70901007 -1.39162572 155.214844 -79.734280
    Oben rechts KachelX + 1 15257 KachelY 14476 2.70939357 -1.39162572 155.236817 -79.734280
    Unten links KachelX 15256 KachelY + 1 14477 2.70901007 -1.39169405 155.214844 -79.738195
    Unten rechts KachelX + 1 15257 KachelY + 1 14477 2.70939357 -1.39169405 155.236817 -79.738195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39162572--1.39169405) × R
    6.83299999999498e-05 × 6371000     		dl = 435.33042999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39162572--1.39169405) × R
    6.83299999999498e-05 × 6371000     		dr = 435.33042999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70901007-2.70939357) × cos(-1.39162572) × R
    0.00038349999999987 × 0.178213518669095 × 6371000     		do = 435.425258573401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70901007-2.70939357) × cos(-1.39169405) × R
    0.00038349999999987 × 0.178146282090662 × 6371000     		du = 435.260980886901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39162572)-sin(-1.39169405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178213518669095-0.178146282090662)×R²
    abs(2.70939357-2.70901007)×6.72365784333273e-05×R²
    0.00038349999999987×6.72365784333273e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.72365784333273e-05×40589641000000     		ar = 189518.107582718m²