Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15256 / 10232
↖ ↑ ↗
← N 55.825973°
W 12.392578°		 ← 686.21 m → N 55.825973°
W 12.381592°		 →
↑
686.22 m
↓
↑
686.22 m
↓
N 55.819802°
W 12.392578°		 ← 686.31 m →
470 925 m²		 N 55.819802°
W 12.381592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465591430664062 y=0.312271118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465591430664062 × 215)
    floor (0.465591430664062 × 32768)
    floor (15256.5)     		tx = 15256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312271118164062 × 215)
    floor (0.312271118164062 × 32768)
    floor (10232.5)     		ty = 10232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15256 / 10232 ti = "15/15256/10232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15256/10232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15256 ÷ 215
    15256 ÷ 32768     		x = 0.465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10232 ÷ 215
    10232 ÷ 32768     		y = 0.312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.06884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21629129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312255859375 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17963122585034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21629129} λ = -0.21629129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17963122585034))-π/2
    2×atan(3.25317429507142)-π/2
    2×1.27257168409968-π/2
    2.54514336819935-1.57079632675     		φ = 0.97434704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21629129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97434704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.825973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15256 KachelY 10232 -0.21629129 0.97434704 -12.392578 55.825973
    Oben rechts KachelX + 1 15257 KachelY 10232 -0.21609954 0.97434704 -12.381592 55.825973
    Unten links KachelX 15256 KachelY + 1 10233 -0.21629129 0.97423933 -12.392578 55.819802
    Unten rechts KachelX + 1 15257 KachelY + 1 10233 -0.21609954 0.97423933 -12.381592 55.819802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97434704-0.97423933) × R
    0.000107710000000094 × 6371000     		dl = 686.2204100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97434704-0.97423933) × R
    0.000107710000000094 × 6371000     		dr = 686.2204100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21629129--0.21609954) × cos(0.97434704) × R
    0.000191749999999991 × 0.561708390106942 × 6371000     		do = 686.205016408918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21629129--0.21609954) × cos(0.97423933) × R
    0.000191749999999991 × 0.561797499132698 × 6371000     		du = 686.313875492311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97434704)-sin(0.97423933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561708390106942-0.561797499132698)×R²
    abs(-0.21609954--0.21629129)×8.91090257558735e-05×R²
    0.000191749999999991×8.91090257558735e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.91090257558735e-05×40589641000000     		ar = 470925.238822285m²