Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15256 / 10120
↖ ↑ ↗
← N 56.511018°
W 12.392578°		 ← 674.07 m → N 56.511018°
W 12.381592°		 →
↑
674.12 m
↓
↑
674.12 m
↓
N 56.504955°
W 12.392578°		 ← 674.18 m →
454 439 m²		 N 56.504955°
W 12.381592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465591430664062 y=0.308853149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465591430664062 × 215)
    floor (0.465591430664062 × 32768)
    floor (15256.5)     		tx = 15256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308853149414062 × 215)
    floor (0.308853149414062 × 32768)
    floor (10120.5)     		ty = 10120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15256 / 10120 ti = "15/15256/10120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15256/10120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15256 ÷ 215
    15256 ÷ 32768     		x = 0.465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10120 ÷ 215
    10120 ÷ 32768     		y = 0.308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.06884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21629129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308837890625 × 2 - 1) × π
    0.38232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20110695688013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21629129} λ = -0.21629129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20110695688013))-π/2
    2×atan(3.32379418391628)-π/2
    2×1.27854982294476-π/2
    2.55709964588952-1.57079632675     		φ = 0.98630332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21629129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98630332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.511018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15256 KachelY 10120 -0.21629129 0.98630332 -12.392578 56.511018
    Oben rechts KachelX + 1 15257 KachelY 10120 -0.21609954 0.98630332 -12.381592 56.511018
    Unten links KachelX 15256 KachelY + 1 10121 -0.21629129 0.98619751 -12.392578 56.504955
    Unten rechts KachelX + 1 15257 KachelY + 1 10121 -0.21609954 0.98619751 -12.381592 56.504955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98630332-0.98619751) × R
    0.000105809999999984 × 6371000     		dl = 674.115509999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98630332-0.98619751) × R
    0.000105809999999984 × 6371000     		dr = 674.115509999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21629129--0.21609954) × cos(0.98630332) × R
    0.000191749999999991 × 0.551776625016533 × 6371000     		do = 674.071982352695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21629129--0.21609954) × cos(0.98619751) × R
    0.000191749999999991 × 0.551864866614768 × 6371000     		du = 674.179781752581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98630332)-sin(0.98619751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551776625016533-0.551864866614768)×R²
    abs(-0.21609954--0.21629129)×8.82415982348395e-05×R²
    0.000191749999999991×8.82415982348395e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.82415982348395e-05×40589641000000     		ar = 454438.713207594m²