Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15255 / 8532
↖ ↑ ↗
← N 64.979359°
W 12.403565°		 ← 516.69 m → N 64.979359°
W 12.392578°		 →
↑
516.69 m
↓
↑
516.69 m
↓
N 64.974712°
W 12.403565°		 ← 516.78 m →
266 989 m²		 N 64.974712°
W 12.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465560913085938 y=0.260391235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465560913085938 × 215)
    floor (0.465560913085938 × 32768)
    floor (15255.5)     		tx = 15255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260391235351562 × 215)
    floor (0.260391235351562 × 32768)
    floor (8532.5)     		ty = 8532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15255 / 8532 ti = "15/15255/8532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15255/8532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15255 ÷ 215
    15255 ÷ 32768     		x = 0.465545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8532 ÷ 215
    8532 ÷ 32768     		y = 0.2603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.06890869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21648304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2603759765625 × 2 - 1) × π
    0.479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50560214326672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21648304} λ = -0.21648304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50560214326672))-π/2
    2×atan(4.50686659278333)-π/2
    2×1.35245004550057-π/2
    2.70490009100114-1.57079632675     		φ = 1.13410376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21648304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.403565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13410376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.979359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15255 KachelY 8532 -0.21648304 1.13410376 -12.403565 64.979359
    Oben rechts KachelX + 1 15256 KachelY 8532 -0.21629129 1.13410376 -12.392578 64.979359
    Unten links KachelX 15255 KachelY + 1 8533 -0.21648304 1.13402266 -12.403565 64.974712
    Unten rechts KachelX + 1 15256 KachelY + 1 8533 -0.21629129 1.13402266 -12.392578 64.974712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13410376-1.13402266) × R
    8.10999999998341e-05 × 6371000     		dl = 516.688099998943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13410376-1.13402266) × R
    8.10999999998341e-05 × 6371000     		dr = 516.688099998943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21648304--0.21629129) × cos(1.13410376) × R
    0.000191749999999991 × 0.422944735130256 × 6371000     		do = 516.68588901595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21648304--0.21629129) × cos(1.13402266) × R
    0.000191749999999991 × 0.423018222948575 × 6371000     		du = 516.775664619205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13410376)-sin(1.13402266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422944735130256-0.423018222948575)×R²
    abs(-0.21629129--0.21648304)×7.34878183189513e-05×R²
    0.000191749999999991×7.34878183189513e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.34878183189513e-05×40589641000000     		ar = 266988.643430656m²