Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15254 / 14470
↖ ↑ ↗
← S 79.710759°
E155.170898°		 ← 436.41 m → S 79.710759°
E155.192871°		 →
↑
436.35 m
↓
↑
436.35 m
↓
S 79.714683°
E155.170898°		 ← 436.25 m →
190 392 m²		 S 79.714683°
E155.192871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931060791015625 y=0.883209228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931060791015625 × 214)
    floor (0.931060791015625 × 16384)
    floor (15254.5)     		tx = 15254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883209228515625 × 214)
    floor (0.883209228515625 × 16384)
    floor (14470.5)     		ty = 14470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15254 / 14470 ti = "14/15254/14470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15254/14470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15254 ÷ 214
    15254 ÷ 16384     		x = 0.9310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14470 ÷ 214
    14470 ÷ 16384     		y = 0.8831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9310302734375 × 2 - 1) × π
    0.862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70824308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8831787109375 × 2 - 1) × π
    -0.766357421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4075828465177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70824308} λ = 2.70824308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4075828465177))-π/2
    2×atan(0.0900326545146281)-π/2
    2×0.0897905662338147-π/2
    0.179581132467629-1.57079632675     		φ = -1.39121519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70824308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39121519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.710759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15254 KachelY 14470 2.70824308 -1.39121519 155.170898 -79.710759
    Oben rechts KachelX + 1 15255 KachelY 14470 2.70862658 -1.39121519 155.192871 -79.710759
    Unten links KachelX 15254 KachelY + 1 14471 2.70824308 -1.39128368 155.170898 -79.714683
    Unten rechts KachelX + 1 15255 KachelY + 1 14471 2.70862658 -1.39128368 155.192871 -79.714683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39121519--1.39128368) × R
    6.84899999998656e-05 × 6371000     		dl = 436.349789999144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39121519--1.39128368) × R
    6.84899999998656e-05 × 6371000     		dr = 436.349789999144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70824308-2.70862658) × cos(-1.39121519) × R
    0.00038349999999987 × 0.178617461810347 × 6371000     		do = 436.412204165644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70824308-2.70862658) × cos(-1.39128368) × R
    0.00038349999999987 × 0.178550072806865 × 6371000     		du = 436.247554062301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39121519)-sin(-1.39128368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178617461810347-0.178550072806865)×R²
    abs(2.70862658-2.70824308)×6.73890034813829e-05×R²
    0.00038349999999987×6.73890034813829e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.73890034813829e-05×40589641000000     		ar = 190392.451195919m²