Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15253 / 8123
↖ ↑ ↗
← N 66.813547°
W 12.425537°		 ← 480.96 m → N 66.813547°
W 12.414551°		 →
↑
481.01 m
↓
↑
481.01 m
↓
N 66.809221°
W 12.425537°		 ← 481.05 m →
231 369 m²		 N 66.809221°
W 12.414551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465499877929688 y=0.247909545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465499877929688 × 215)
    floor (0.465499877929688 × 32768)
    floor (15253.5)     		tx = 15253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247909545898438 × 215)
    floor (0.247909545898438 × 32768)
    floor (8123.5)     		ty = 8123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15253 / 8123 ti = "15/15253/8123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15253/8123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15253 ÷ 215
    15253 ÷ 32768     		x = 0.465484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8123 ÷ 215
    8123 ÷ 32768     		y = 0.247894287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.06903076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21686653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247894287109375 × 2 - 1) × π
    0.50421142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58402691104514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21686653} λ = -0.21686653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58402691104514))-π/2
    2×atan(4.87454570332127)-π/2
    2×1.36845635293537-π/2
    2.73691270587074-1.57079632675     		φ = 1.16611638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21686653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.425537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16611638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.813547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15253 KachelY 8123 -0.21686653 1.16611638 -12.425537 66.813547
    Oben rechts KachelX + 1 15254 KachelY 8123 -0.21667479 1.16611638 -12.414551 66.813547
    Unten links KachelX 15253 KachelY + 1 8124 -0.21686653 1.16604088 -12.425537 66.809221
    Unten rechts KachelX + 1 15254 KachelY + 1 8124 -0.21667479 1.16604088 -12.414551 66.809221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16611638-1.16604088) × R
    7.55000000001171e-05 × 6371000     		dl = 481.010500000746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16611638-1.16604088) × R
    7.55000000001171e-05 × 6371000     		dr = 481.010500000746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21686653--0.21667479) × cos(1.16611638) × R
    0.000191739999999996 × 0.393724578527302 × 6371000     		do = 480.964314625751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21686653--0.21667479) × cos(1.16604088) × R
    0.000191739999999996 × 0.39379397915358 × 6371000     		du = 481.049092733272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16611638)-sin(1.16604088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393724578527302-0.39379397915358)×R²
    abs(-0.21667479--0.21686653)×6.94006262776936e-05×R²
    0.000191739999999996×6.94006262776936e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.94006262776936e-05×40589641000000     		ar = 231369.275150502m²