Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15253 / 14477
↖ ↑ ↗
← S 79.738195°
E155.148926°		 ← 435.25 m → S 79.738195°
E155.170898°		 →
↑
435.20 m
↓
↑
435.20 m
↓
S 79.742109°
E155.148926°		 ← 435.09 m →
189 386 m²		 S 79.742109°
E155.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930999755859375 y=0.883636474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930999755859375 × 214)
    floor (0.930999755859375 × 16384)
    floor (15253.5)     		tx = 15253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883636474609375 × 214)
    floor (0.883636474609375 × 16384)
    floor (14477.5)     		ty = 14477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15253 / 14477 ti = "14/15253/14477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15253/14477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15253 ÷ 214
    15253 ÷ 16384     		x = 0.93096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14477 ÷ 214
    14477 ÷ 16384     		y = 0.88360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93096923828125 × 2 - 1) × π
    0.8619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.70785959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.7672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41026731289642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70785959} λ = 2.70785959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41026731289642))-π/2
    2×atan(0.0897912889943556)-π/2
    2×0.0895511363051574-π/2
    0.179102272610315-1.57079632675     		φ = -1.39169405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70785959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39169405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.738195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15253 KachelY 14477 2.70785959 -1.39169405 155.148926 -79.738195
    Oben rechts KachelX + 1 15254 KachelY 14477 2.70824308 -1.39169405 155.170898 -79.738195
    Unten links KachelX 15253 KachelY + 1 14478 2.70785959 -1.39176236 155.148926 -79.742109
    Unten rechts KachelX + 1 15254 KachelY + 1 14478 2.70824308 -1.39176236 155.170898 -79.742109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39169405--1.39176236) × R
    6.83100000000714e-05 × 6371000     		dl = 435.203010000455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39169405--1.39176236) × R
    6.83100000000714e-05 × 6371000     		dr = 435.203010000455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70785959-2.70824308) × cos(-1.39169405) × R
    0.000383489999999931 × 0.178146282090662 × 6371000     		do = 435.249631187338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70785959-2.70824308) × cos(-1.39176236) × R
    0.000383489999999931 × 0.178079064360789 × 6371000     		du = 435.085403835563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39169405)-sin(-1.39176236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178146282090662-0.178079064360789)×R²
    abs(2.70824308-2.70785959)×6.72177298728094e-05×R²
    0.000383489999999931×6.72177298728094e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.72177298728094e-05×40589641000000     		ar = 189386.213549059m²