Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15252 / 10136
↖ ↑ ↗
← N 56.413901°
W 12.436523°		 ← 675.80 m → N 56.413901°
W 12.425537°		 →
↑
675.84 m
↓
↑
675.84 m
↓
N 56.407823°
W 12.436523°		 ← 675.91 m →
456 765 m²		 N 56.407823°
W 12.425537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465469360351562 y=0.309341430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465469360351562 × 215)
    floor (0.465469360351562 × 32768)
    floor (15252.5)     		tx = 15252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309341430664062 × 215)
    floor (0.309341430664062 × 32768)
    floor (10136.5)     		ty = 10136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15252 / 10136 ti = "15/15252/10136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15252/10136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15252 ÷ 215
    15252 ÷ 32768     		x = 0.4654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10136 ÷ 215
    10136 ÷ 32768     		y = 0.309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21705828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309326171875 × 2 - 1) × π
    0.38134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19803899530444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21705828} λ = -0.21705828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19803899530444))-π/2
    2×atan(3.31361253751066)-π/2
    2×1.27770232484132-π/2
    2.55540464968263-1.57079632675     		φ = 0.98460832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21705828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.436523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98460832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.413901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15252 KachelY 10136 -0.21705828 0.98460832 -12.436523 56.413901
    Oben rechts KachelX + 1 15253 KachelY 10136 -0.21686653 0.98460832 -12.425537 56.413901
    Unten links KachelX 15252 KachelY + 1 10137 -0.21705828 0.98450224 -12.436523 56.407823
    Unten rechts KachelX + 1 15253 KachelY + 1 10137 -0.21686653 0.98450224 -12.425537 56.407823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98460832-0.98450224) × R
    0.000106080000000008 × 6371000     		dl = 675.835680000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98460832-0.98450224) × R
    0.000106080000000008 × 6371000     		dr = 675.835680000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21705828--0.21686653) × cos(0.98460832) × R
    0.000191749999999991 × 0.553189448044213 × 6371000     		do = 675.797942416613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21705828--0.21686653) × cos(0.98450224) × R
    0.000191749999999991 × 0.55327781545697 × 6371000     		du = 675.905895516458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98460832)-sin(0.98450224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553189448044213-0.55327781545697)×R²
    abs(-0.21686653--0.21705828)×8.83674127570844e-05×R²
    0.000191749999999991×8.83674127570844e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.83674127570844e-05×40589641000000     		ar = 456764.841662458m²