Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15251 / 8513
↖ ↑ ↗
← N 65.067499°
W 12.447510°		 ← 514.98 m → N 65.067499°
W 12.436523°		 →
↑
515.03 m
↓
↑
515.03 m
↓
N 65.062868°
W 12.447510°		 ← 515.07 m →
265 255 m²		 N 65.062868°
W 12.436523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465438842773438 y=0.259811401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465438842773438 × 215)
    floor (0.465438842773438 × 32768)
    floor (15251.5)     		tx = 15251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259811401367188 × 215)
    floor (0.259811401367188 × 32768)
    floor (8513.5)     		ty = 8513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15251 / 8513 ti = "15/15251/8513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15251/8513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15251 ÷ 215
    15251 ÷ 32768     		x = 0.465423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8513 ÷ 215
    8513 ÷ 32768     		y = 0.259796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.06915283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21725003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259796142578125 × 2 - 1) × π
    0.48040771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50924534763785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21725003} λ = -0.21725003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50924534763785))-π/2
    2×atan(4.52331597489033)-π/2
    2×1.35321921191658-π/2
    2.70643842383316-1.57079632675     		φ = 1.13564210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21725003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.447510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13564210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.067499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15251 KachelY 8513 -0.21725003 1.13564210 -12.447510 65.067499
    Oben rechts KachelX + 1 15252 KachelY 8513 -0.21705828 1.13564210 -12.436523 65.067499
    Unten links KachelX 15251 KachelY + 1 8514 -0.21725003 1.13556126 -12.447510 65.062868
    Unten rechts KachelX + 1 15252 KachelY + 1 8514 -0.21705828 1.13556126 -12.436523 65.062868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13564210-1.13556126) × R
    8.0840000000082e-05 × 6371000     		dl = 515.031640000522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13564210-1.13556126) × R
    8.0840000000082e-05 × 6371000     		dr = 515.031640000522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21725003--0.21705828) × cos(1.13564210) × R
    0.000191750000000018 × 0.421550260014291 × 6371000     		do = 514.982343481213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21725003--0.21705828) × cos(1.13556126) × R
    0.000191750000000018 × 0.421623564756106 × 6371000     		du = 515.071895431024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13564210)-sin(1.13556126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421550260014291-0.421623564756106)×R²
    abs(-0.21705828--0.21725003)×7.33047418141619e-05×R²
    0.000191750000000018×7.33047418141619e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.33047418141619e-05×40589641000000     		ar = 265255.262122335m²