Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 15250 / 12146
↖ ↑ ↗
← N 74.232893°
W 96.229248°		 ← 165.99 m → N 74.232893°
W 96.223755°		 →
↑
166.03 m
↓
↑
166.03 m
↓
N 74.231400°
W 96.229248°		 ← 166 m →
27 560 m²		 N 74.231400°
W 96.223755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232704162597656 y=0.185340881347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232704162597656 × 216)
    floor (0.232704162597656 × 65536)
    floor (15250.5)     		tx = 15250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185340881347656 × 216)
    floor (0.185340881347656 × 65536)
    floor (12146.5)     		ty = 12146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15250 / 12146 ti = "16/15250/12146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15250/12146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15250 ÷ 216
    15250 ÷ 65536     		x = 0.232696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12146 ÷ 216
    12146 ÷ 65536     		y = 0.185333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232696533203125 × 2 - 1) × π
    -0.53460693359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.67951722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185333251953125 × 2 - 1) × π
    0.62933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.9771094879296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67951722} λ = -1.67951722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9771094879296))-π/2
    2×atan(7.22183797678431)-π/2
    2×1.43320236192109-π/2
    2.86640472384217-1.57079632675     		φ = 1.29560840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67951722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.229248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29560840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.232893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15250 KachelY 12146 -1.67951722 1.29560840 -96.229248 74.232893
    Oben rechts KachelX + 1 15251 KachelY 12146 -1.67942134 1.29560840 -96.223755 74.232893
    Unten links KachelX 15250 KachelY + 1 12147 -1.67951722 1.29558234 -96.229248 74.231400
    Unten rechts KachelX + 1 15251 KachelY + 1 12147 -1.67942134 1.29558234 -96.223755 74.231400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29560840-1.29558234) × R
    2.6060000000161e-05 × 6371000     		dl = 166.028260001025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29560840-1.29558234) × R
    2.6060000000161e-05 × 6371000     		dr = 166.028260001025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67951722--1.67942134) × cos(1.29560840) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.271727797642725 × 6371000     		do = 165.98532734709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67951722--1.67942134) × cos(1.29558234) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.271752877020795 × 6371000     		du = 166.000647122302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29560840)-sin(1.29558234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271727797642725-0.271752877020795)×R²
    abs(-1.67942134--1.67951722)×2.50793780697811e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.50793780697811e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.50793780697811e-05×40589641000000     		ar = 27559.526844864m²