Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15250 / 10314
↖ ↑ ↗
← N 55.316643°
W 12.458496°		 ← 695.16 m → N 55.316643°
W 12.447510°		 →
↑
695.20 m
↓
↑
695.20 m
↓
N 55.310391°
W 12.458496°		 ← 695.27 m →
483 317 m²		 N 55.310391°
W 12.447510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465408325195312 y=0.314773559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465408325195312 × 215)
    floor (0.465408325195312 × 32768)
    floor (15250.5)     		tx = 15250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314773559570312 × 215)
    floor (0.314773559570312 × 32768)
    floor (10314.5)     		ty = 10314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15250 / 10314 ti = "15/15250/10314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15250/10314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15250 ÷ 215
    15250 ÷ 32768     		x = 0.46539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10314 ÷ 215
    10314 ÷ 32768     		y = 0.31475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.0692138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21744178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31475830078125 × 2 - 1) × π
    0.3704833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16390792277496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21744178} λ = -0.21744178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16390792277496))-π/2
    2×atan(3.20242367888529)-π/2
    2×1.26812693952538-π/2
    2.53625387905077-1.57079632675     		φ = 0.96545755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21744178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.458496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96545755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.316643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15250 KachelY 10314 -0.21744178 0.96545755 -12.458496 55.316643
    Oben rechts KachelX + 1 15251 KachelY 10314 -0.21725003 0.96545755 -12.447510 55.316643
    Unten links KachelX 15250 KachelY + 1 10315 -0.21744178 0.96534843 -12.458496 55.310391
    Unten rechts KachelX + 1 15251 KachelY + 1 10315 -0.21725003 0.96534843 -12.447510 55.310391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96545755-0.96534843) × R
    0.000109119999999963 × 6371000     		dl = 695.203519999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96545755-0.96534843) × R
    0.000109119999999963 × 6371000     		dr = 695.203519999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21744178--0.21725003) × cos(0.96545755) × R
    0.000191749999999991 × 0.569040688239671 × 6371000     		do = 695.162439600561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21744178--0.21725003) × cos(0.96534843) × R
    0.000191749999999991 × 0.569130415249791 × 6371000     		du = 695.272053637909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96545755)-sin(0.96534843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569040688239671-0.569130415249791)×R²
    abs(-0.21725003--0.21744178)×8.97270101203329e-05×R²
    0.000191749999999991×8.97270101203329e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.97270101203329e-05×40589641000000     		ar = 483317.477493247m²