Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15250 / 10118
↖ ↑ ↗
← N 56.523140°
W 12.458496°		 ← 673.86 m → N 56.523140°
W 12.447510°		 →
↑
673.92 m
↓
↑
673.92 m
↓
N 56.517079°
W 12.458496°		 ← 673.96 m →
454 165 m²		 N 56.517079°
W 12.447510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465408325195312 y=0.308792114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465408325195312 × 215)
    floor (0.465408325195312 × 32768)
    floor (15250.5)     		tx = 15250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308792114257812 × 215)
    floor (0.308792114257812 × 32768)
    floor (10118.5)     		ty = 10118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15250 / 10118 ti = "15/15250/10118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15250/10118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15250 ÷ 215
    15250 ÷ 32768     		x = 0.46539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10118 ÷ 215
    10118 ÷ 32768     		y = 0.30877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.0692138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21744178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30877685546875 × 2 - 1) × π
    0.3824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20149045207709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21744178} λ = -0.21744178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20149045207709))-π/2
    2×atan(3.32506908746557)-π/2
    2×1.27865560786926-π/2
    2.55731121573852-1.57079632675     		φ = 0.98651489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21744178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.458496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98651489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.523140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15250 KachelY 10118 -0.21744178 0.98651489 -12.458496 56.523140
    Oben rechts KachelX + 1 15251 KachelY 10118 -0.21725003 0.98651489 -12.447510 56.523140
    Unten links KachelX 15250 KachelY + 1 10119 -0.21744178 0.98640911 -12.458496 56.517079
    Unten rechts KachelX + 1 15251 KachelY + 1 10119 -0.21725003 0.98640911 -12.447510 56.517079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98651489-0.98640911) × R
    0.000105780000000055 × 6371000     		dl = 673.924380000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98651489-0.98640911) × R
    0.000105780000000055 × 6371000     		dr = 673.924380000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21744178--0.21725003) × cos(0.98651489) × R
    0.000191749999999991 × 0.551600164993815 × 6371000     		do = 673.856411862887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21744178--0.21725003) × cos(0.98640911) × R
    0.000191749999999991 × 0.551688393921748 × 6371000     		du = 673.964195784235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98651489)-sin(0.98640911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551600164993815-0.551688393921748)×R²
    abs(-0.21725003--0.21744178)×8.82289279324766e-05×R²
    0.000191749999999991×8.82289279324766e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.82289279324766e-05×40589641000000     		ar = 454164.584103404m²