Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15249 / 12176
↖ ↑ ↗
← N 74.188052°
W 96.234741°		 ← 166.43 m → N 74.188052°
W 96.229248°		 →
↑
166.47 m
↓
↑
166.47 m
↓
N 74.186555°
W 96.234741°		 ← 166.44 m →
27 707 m²		 N 74.186555°
W 96.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232688903808594 y=0.185798645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232688903808594 × 216)
    floor (0.232688903808594 × 65536)
    floor (15249.5)     		tx = 15249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185798645019531 × 216)
    floor (0.185798645019531 × 65536)
    floor (12176.5)     		ty = 12176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15249 / 12176 ti = "16/15249/12176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15249/12176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15249 ÷ 216
    15249 ÷ 65536     		x = 0.232681274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12176 ÷ 216
    12176 ÷ 65536     		y = 0.185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232681274414062 × 2 - 1) × π
    -0.534637451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.67961309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185791015625 × 2 - 1) × π
    0.62841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.97423327395239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67961309} λ = -1.67961309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97423327395239))-π/2
    2×atan(7.20109626854895)-π/2
    2×1.43281104698323-π/2
    2.86562209396646-1.57079632675     		φ = 1.29482577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67961309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.234741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29482577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.188052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15249 KachelY 12176 -1.67961309 1.29482577 -96.234741 74.188052
    Oben rechts KachelX + 1 15250 KachelY 12176 -1.67951722 1.29482577 -96.229248 74.188052
    Unten links KachelX 15249 KachelY + 1 12177 -1.67961309 1.29479964 -96.234741 74.186555
    Unten rechts KachelX + 1 15250 KachelY + 1 12177 -1.67951722 1.29479964 -96.229248 74.186555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29482577-1.29479964) × R
    2.61300000001796e-05 × 6371000     		dl = 166.474230001144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29482577-1.29479964) × R
    2.61300000001796e-05 × 6371000     		dr = 166.474230001144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67961309--1.67951722) × cos(1.29482577) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.272480897228653 × 6371000     		do = 166.427999585885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67961309--1.67951722) × cos(1.29479964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.272506038407593 × 6371000     		du = 166.443355510504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29482577)-sin(1.29479964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272480897228653-0.272506038407593)×R²
    abs(-1.67951722--1.67961309)×2.51411789394806e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.51411789394806e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.51411789394806e-05×40589641000000     		ar = 27707.2512659124m²