Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15249 / 12145
↖ ↑ ↗
← N 74.234386°
W 96.234741°		 ← 165.95 m → N 74.234386°
W 96.229248°		 →
↑
165.96 m
↓
↑
165.96 m
↓
N 74.232893°
W 96.234741°		 ← 165.97 m →
27 544 m²		 N 74.232893°
W 96.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232688903808594 y=0.185325622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232688903808594 × 216)
    floor (0.232688903808594 × 65536)
    floor (15249.5)     		tx = 15249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185325622558594 × 216)
    floor (0.185325622558594 × 65536)
    floor (12145.5)     		ty = 12145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15249 / 12145 ti = "16/15249/12145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15249/12145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15249 ÷ 216
    15249 ÷ 65536     		x = 0.232681274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12145 ÷ 216
    12145 ÷ 65536     		y = 0.185317993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232681274414062 × 2 - 1) × π
    -0.534637451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.67961309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185317993164062 × 2 - 1) × π
    0.629364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.97720536172884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67961309} λ = -1.67961309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97720536172884))-π/2
    2×atan(7.22253039502049)-π/2
    2×1.43321538710848-π/2
    2.86643077421696-1.57079632675     		φ = 1.29563445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67961309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.234741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29563445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.234386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15249 KachelY 12145 -1.67961309 1.29563445 -96.234741 74.234386
    Oben rechts KachelX + 1 15250 KachelY 12145 -1.67951722 1.29563445 -96.229248 74.234386
    Unten links KachelX 15249 KachelY + 1 12146 -1.67961309 1.29560840 -96.234741 74.232893
    Unten rechts KachelX + 1 15250 KachelY + 1 12146 -1.67951722 1.29560840 -96.229248 74.232893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29563445-1.29560840) × R
    2.60499999999997e-05 × 6371000     		dl = 165.964549999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29563445-1.29560840) × R
    2.60499999999997e-05 × 6371000     		dr = 165.964549999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67961309--1.67951722) × cos(1.29563445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.271702727703931 × 6371000     		do = 165.952703157198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67961309--1.67951722) × cos(1.29560840) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.271727797642725 × 6371000     		du = 165.968015569208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29563445)-sin(1.29560840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271702727703931-0.271727797642725)×R²
    abs(-1.67951722--1.67961309)×2.50699387941422e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.50699387941422e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.50699387941422e-05×40589641000000     		ar = 27543.5363606973m²