Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15248 / 14417
↖ ↑ ↗
← N 70.464370°
W 96.240234°		 ← 204.24 m → N 70.464370°
W 96.234741°		 →
↑
204.25 m
↓
↑
204.25 m
↓
N 70.462534°
W 96.240234°		 ← 204.26 m →
41 719 m²		 N 70.462534°
W 96.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232673645019531 y=0.219993591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232673645019531 × 216)
    floor (0.232673645019531 × 65536)
    floor (15248.5)     		tx = 15248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219993591308594 × 216)
    floor (0.219993591308594 × 65536)
    floor (14417.5)     		ty = 14417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15248 / 14417 ti = "16/15248/14417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15248/14417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15248 ÷ 216
    15248 ÷ 65536     		x = 0.232666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14417 ÷ 216
    14417 ÷ 65536     		y = 0.219985961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232666015625 × 2 - 1) × π
    -0.53466796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.67970896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219985961914062 × 2 - 1) × π
    0.560028076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7593800898553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67970896} λ = -1.67970896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7593800898553))-π/2
    2×atan(5.80883532209231)-π/2
    2×1.40031579980657-π/2
    2.80063159961315-1.57079632675     		φ = 1.22983527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67970896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22983527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.464370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15248 KachelY 14417 -1.67970896 1.22983527 -96.240234 70.464370
    Oben rechts KachelX + 1 15249 KachelY 14417 -1.67961309 1.22983527 -96.234741 70.464370
    Unten links KachelX 15248 KachelY + 1 14418 -1.67970896 1.22980321 -96.240234 70.462534
    Unten rechts KachelX + 1 15249 KachelY + 1 14418 -1.67961309 1.22980321 -96.234741 70.462534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22983527-1.22980321) × R
    3.20599999998894e-05 × 6371000     		dl = 204.254259999295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22983527-1.22980321) × R
    3.20599999998894e-05 × 6371000     		dr = 204.254259999295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67970896--1.67961309) × cos(1.22983527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33439297876921 × 6371000     		do = 204.243141806098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67970896--1.67961309) × cos(1.22980321) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334423193022742 × 6371000     		du = 204.261596302635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22983527)-sin(1.22980321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33439297876921-0.334423193022742)×R²
    abs(-1.67961309--1.67970896)×3.02142535319461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02142535319461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02142535319461e-05×40589641000000     		ar = 41719.4164976027m²