Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15248 / 14415
↖ ↑ ↗
← N 70.468044°
W 96.240234°		 ← 204.21 m → N 70.468044°
W 96.234741°		 →
↑
204.25 m
↓
↑
204.25 m
↓
N 70.466207°
W 96.240234°		 ← 204.22 m →
41 712 m²		 N 70.466207°
W 96.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232673645019531 y=0.219963073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232673645019531 × 216)
    floor (0.232673645019531 × 65536)
    floor (15248.5)     		tx = 15248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219963073730469 × 216)
    floor (0.219963073730469 × 65536)
    floor (14415.5)     		ty = 14415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15248 / 14415 ti = "16/15248/14415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15248/14415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15248 ÷ 216
    15248 ÷ 65536     		x = 0.232666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14415 ÷ 216
    14415 ÷ 65536     		y = 0.219955444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232666015625 × 2 - 1) × π
    -0.53466796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.67970896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219955444335938 × 2 - 1) × π
    0.560089111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75957183745378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67970896} λ = -1.67970896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75957183745378))-π/2
    2×atan(5.80994925910925)-π/2
    2×1.40034785643506-π/2
    2.80069571287012-1.57079632675     		φ = 1.22989939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67970896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22989939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.468044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15248 KachelY 14415 -1.67970896 1.22989939 -96.240234 70.468044
    Oben rechts KachelX + 1 15249 KachelY 14415 -1.67961309 1.22989939 -96.234741 70.468044
    Unten links KachelX 15248 KachelY + 1 14416 -1.67970896 1.22986733 -96.240234 70.466207
    Unten rechts KachelX + 1 15249 KachelY + 1 14416 -1.67961309 1.22986733 -96.234741 70.466207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22989939-1.22986733) × R
    3.20599999998894e-05 × 6371000     		dl = 204.254259999295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22989939-1.22986733) × R
    3.20599999998894e-05 × 6371000     		dr = 204.254259999295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67970896--1.67961309) × cos(1.22989939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334332549231066 × 6371000     		do = 204.206232183253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67970896--1.67961309) × cos(1.22986733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334362764171974 × 6371000     		du = 204.224687099631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22989939)-sin(1.22986733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334332549231066-0.334362764171974)×R²
    abs(-1.67961309--1.67970896)×3.02149409082686e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02149409082686e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02149409082686e-05×40589641000000     		ar = 41711.8775929154m²