Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15248 / 12174
↖ ↑ ↗
← N 74.191045°
W 96.240234°		 ← 166.40 m → N 74.191045°
W 96.234741°		 →
↑
166.41 m
↓
↑
166.41 m
↓
N 74.189548°
W 96.240234°		 ← 166.41 m →
27 692 m²		 N 74.189548°
W 96.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232673645019531 y=0.185768127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232673645019531 × 216)
    floor (0.232673645019531 × 65536)
    floor (15248.5)     		tx = 15248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185768127441406 × 216)
    floor (0.185768127441406 × 65536)
    floor (12174.5)     		ty = 12174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15248 / 12174 ti = "16/15248/12174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15248/12174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15248 ÷ 216
    15248 ÷ 65536     		x = 0.232666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12174 ÷ 216
    12174 ÷ 65536     		y = 0.185760498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232666015625 × 2 - 1) × π
    -0.53466796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.67970896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185760498046875 × 2 - 1) × π
    0.62847900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.97442502155087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67970896} λ = -1.67970896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97442502155087))-π/2
    2×atan(7.20247719385519)-π/2
    2×1.43283716835265-π/2
    2.8656743367053-1.57079632675     		φ = 1.29487801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67970896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29487801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.191045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15248 KachelY 12174 -1.67970896 1.29487801 -96.240234 74.191045
    Oben rechts KachelX + 1 15249 KachelY 12174 -1.67961309 1.29487801 -96.234741 74.191045
    Unten links KachelX 15248 KachelY + 1 12175 -1.67970896 1.29485189 -96.240234 74.189548
    Unten rechts KachelX + 1 15249 KachelY + 1 12175 -1.67961309 1.29485189 -96.234741 74.189548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29487801-1.29485189) × R
    2.61200000000184e-05 × 6371000     		dl = 166.410520000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29487801-1.29485189) × R
    2.61200000000184e-05 × 6371000     		dr = 166.410520000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67970896--1.67961309) × cos(1.29487801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.272430633556169 × 6371000     		do = 166.397299149456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67970896--1.67961309) × cos(1.29485189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.272455765485353 × 6371000     		du = 166.412649424438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29487801)-sin(1.29485189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272430633556169-0.272455765485353)×R²
    abs(-1.67961309--1.67970896)×2.51319291840191e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.51319291840191e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.51319291840191e-05×40589641000000     		ar = 27691.538303496m²