Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15247 / 10171
↖ ↑ ↗
← N 56.200593°
W 12.491455°		 ← 679.58 m → N 56.200593°
W 12.480469°		 →
↑
679.66 m
↓
↑
679.66 m
↓
N 56.194481°
W 12.491455°		 ← 679.69 m →
461 920 m²		 N 56.194481°
W 12.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465316772460938 y=0.310409545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465316772460938 × 215)
    floor (0.465316772460938 × 32768)
    floor (15247.5)     		tx = 15247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310409545898438 × 215)
    floor (0.310409545898438 × 32768)
    floor (10171.5)     		ty = 10171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15247 / 10171 ti = "15/15247/10171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15247/10171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15247 ÷ 215
    15247 ÷ 32768     		x = 0.465301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10171 ÷ 215
    10171 ÷ 32768     		y = 0.310394287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.06939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21801702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310394287109375 × 2 - 1) × π
    0.37921142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19132782935764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21801702} λ = -0.21801702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19132782935764))-π/2
    2×atan(3.29144878937129)-π/2
    2×1.27584085736556-π/2
    2.55168171473113-1.57079632675     		φ = 0.98088539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21801702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.491455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98088539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.200593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15247 KachelY 10171 -0.21801702 0.98088539 -12.491455 56.200593
    Oben rechts KachelX + 1 15248 KachelY 10171 -0.21782527 0.98088539 -12.480469 56.200593
    Unten links KachelX 15247 KachelY + 1 10172 -0.21801702 0.98077871 -12.491455 56.194481
    Unten rechts KachelX + 1 15248 KachelY + 1 10172 -0.21782527 0.98077871 -12.480469 56.194481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98088539-0.98077871) × R
    0.000106679999999915 × 6371000     		dl = 679.658279999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98088539-0.98077871) × R
    0.000106679999999915 × 6371000     		dr = 679.658279999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21801702--0.21782527) × cos(0.98088539) × R
    0.000191750000000018 × 0.556287014466152 × 6371000     		do = 679.582051137233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21801702--0.21782527) × cos(0.98077871) × R
    0.000191750000000018 × 0.556375661337964 × 6371000     		du = 679.69034563523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98088539)-sin(0.98077871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556287014466152-0.556375661337964)×R²
    abs(-0.21782527--0.21801702)×8.86468718126476e-05×R²
    0.000191750000000018×8.86468718126476e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.86468718126476e-05×40589641000000     		ar = 461920.370058894m²