Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15246 / 8537
↖ ↑ ↗
← N 64.956116°
W 12.502442°		 ← 517.13 m → N 64.956116°
W 12.491455°		 →
↑
517.13 m
↓
↑
517.13 m
↓
N 64.951465°
W 12.502442°		 ← 517.22 m →
267 451 m²		 N 64.951465°
W 12.491455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465286254882812 y=0.260543823242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465286254882812 × 215)
    floor (0.465286254882812 × 32768)
    floor (15246.5)     		tx = 15246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260543823242188 × 215)
    floor (0.260543823242188 × 32768)
    floor (8537.5)     		ty = 8537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15246 / 8537 ti = "15/15246/8537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15246/8537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15246 ÷ 215
    15246 ÷ 32768     		x = 0.46527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8537 ÷ 215
    8537 ÷ 32768     		y = 0.260528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.0694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21820877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260528564453125 × 2 - 1) × π
    0.47894287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50464340527432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21820877} λ = -0.21820877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50464340527432))-π/2
    2×atan(4.50254775919988)-π/2
    2×1.35224721081968-π/2
    2.70449442163936-1.57079632675     		φ = 1.13369809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21820877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.502442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13369809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.956116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15246 KachelY 8537 -0.21820877 1.13369809 -12.502442 64.956116
    Oben rechts KachelX + 1 15247 KachelY 8537 -0.21801702 1.13369809 -12.491455 64.956116
    Unten links KachelX 15246 KachelY + 1 8538 -0.21820877 1.13361692 -12.502442 64.951465
    Unten rechts KachelX + 1 15247 KachelY + 1 8538 -0.21801702 1.13361692 -12.491455 64.951465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13369809-1.13361692) × R
    8.11700000000748e-05 × 6371000     		dl = 517.134070000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13369809-1.13361692) × R
    8.11700000000748e-05 × 6371000     		dr = 517.134070000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21820877--0.21801702) × cos(1.13369809) × R
    0.000191749999999991 × 0.423312300411479 × 6371000     		do = 517.134921190428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21820877--0.21801702) × cos(1.13361692) × R
    0.000191749999999991 × 0.423385837724193 × 6371000     		du = 517.22475725798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13369809)-sin(1.13361692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423312300411479-0.423385837724193)×R²
    abs(-0.21801702--0.21820877)×7.35373127145333e-05×R²
    0.000191749999999991×7.35373127145333e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.35373127145333e-05×40589641000000     		ar = 267451.315326897m²