Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15246 / 14489
↖ ↑ ↗
← S 79.785062°
E154.995117°		 ← 433.28 m → S 79.785062°
E155.017090°		 →
↑
433.23 m
↓
↑
433.23 m
↓
S 79.788958°
E154.995117°		 ← 433.12 m →
187 675 m²		 S 79.788958°
E155.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930572509765625 y=0.884368896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930572509765625 × 214)
    floor (0.930572509765625 × 16384)
    floor (15246.5)     		tx = 15246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884368896484375 × 214)
    floor (0.884368896484375 × 16384)
    floor (14489.5)     		ty = 14489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15246 / 14489 ti = "14/15246/14489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15246/14489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15246 ÷ 214
    15246 ÷ 16384     		x = 0.9305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14489 ÷ 214
    14489 ÷ 16384     		y = 0.88433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9305419921875 × 2 - 1) × π
    0.861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.70517512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.7686767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41486925525995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70517512} λ = 2.70517512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41486925525995))-π/2
    2×atan(0.0893790239951139)-π/2
    2×0.0891421536023136-π/2
    0.178284307204627-1.57079632675     		φ = -1.39251202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70517512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.995117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39251202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.785062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15246 KachelY 14489 2.70517512 -1.39251202 154.995117 -79.785062
    Oben rechts KachelX + 1 15247 KachelY 14489 2.70555861 -1.39251202 155.017090 -79.785062
    Unten links KachelX 15246 KachelY + 1 14490 2.70517512 -1.39258002 154.995117 -79.788958
    Unten rechts KachelX + 1 15247 KachelY + 1 14490 2.70555861 -1.39258002 155.017090 -79.788958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39251202--1.39258002) × R
    6.7999999999957e-05 × 6371000     		dl = 433.227999999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39251202--1.39258002) × R
    6.7999999999957e-05 × 6371000     		dr = 433.227999999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70517512-2.70555861) × cos(-1.39251202) × R
    0.000383490000000375 × 0.177341336819399 × 6371000     		do = 433.28297699595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70517512-2.70555861) × cos(-1.39258002) × R
    0.000383490000000375 × 0.177274414249936 × 6371000     		du = 433.119470784453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39251202)-sin(-1.39258002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177341336819399-0.177274414249936)×R²
    abs(2.70555861-2.70517512)×6.69225694633346e-05×R²
    0.000383490000000375×6.69225694633346e-05×6371000²
    0.000383490000000375×6.69225694633346e-05×40589641000000     		ar = 187674.899895156m²