Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15246 / 10119
↖ ↑ ↗
← N 56.517079°
W 12.502442°		 ← 673.96 m → N 56.517079°
W 12.491455°		 →
↑
673.99 m
↓
↑
673.99 m
↓
N 56.511018°
W 12.502442°		 ← 674.07 m →
454 280 m²		 N 56.511018°
W 12.491455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465286254882812 y=0.308822631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465286254882812 × 215)
    floor (0.465286254882812 × 32768)
    floor (15246.5)     		tx = 15246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308822631835938 × 215)
    floor (0.308822631835938 × 32768)
    floor (10119.5)     		ty = 10119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15246 / 10119 ti = "15/15246/10119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15246/10119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15246 ÷ 215
    15246 ÷ 32768     		x = 0.46527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10119 ÷ 215
    10119 ÷ 32768     		y = 0.308807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.0694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21820877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308807373046875 × 2 - 1) × π
    0.38238525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20129870447861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21820877} λ = -0.21820877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20129870447861))-π/2
    2×atan(3.324431574576)-π/2
    2×1.27860271963648-π/2
    2.55720543927296-1.57079632675     		φ = 0.98640911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21820877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.502442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98640911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.517079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15246 KachelY 10119 -0.21820877 0.98640911 -12.502442 56.517079
    Oben rechts KachelX + 1 15247 KachelY 10119 -0.21801702 0.98640911 -12.491455 56.517079
    Unten links KachelX 15246 KachelY + 1 10120 -0.21820877 0.98630332 -12.502442 56.511018
    Unten rechts KachelX + 1 15247 KachelY + 1 10120 -0.21801702 0.98630332 -12.491455 56.511018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98640911-0.98630332) × R
    0.000105789999999994 × 6371000     		dl = 673.988089999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98640911-0.98630332) × R
    0.000105789999999994 × 6371000     		dr = 673.988089999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21820877--0.21801702) × cos(0.98640911) × R
    0.000191749999999991 × 0.551688393921748 × 6371000     		do = 673.964195784235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21820877--0.21801702) × cos(0.98630332) × R
    0.000191749999999991 × 0.551776625016533 × 6371000     		du = 674.071982352695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98640911)-sin(0.98630332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551688393921748-0.551776625016533)×R²
    abs(-0.21801702--0.21820877)×8.82310947850629e-05×R²
    0.000191749999999991×8.82310947850629e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.82310947850629e-05×40589641000000     		ar = 454280.164900784m²