Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15244 / 8228
↖ ↑ ↗
← N 66.355136°
W 12.524414°		 ← 489.96 m → N 66.355136°
W 12.513427°		 →
↑
489.99 m
↓
↑
489.99 m
↓
N 66.350729°
W 12.524414°		 ← 490.04 m →
240 098 m²		 N 66.350729°
W 12.513427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465225219726562 y=0.251113891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465225219726562 × 215)
    floor (0.465225219726562 × 32768)
    floor (15244.5)     		tx = 15244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251113891601562 × 215)
    floor (0.251113891601562 × 32768)
    floor (8228.5)     		ty = 8228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15244 / 8228 ti = "15/15244/8228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15244/8228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15244 ÷ 215
    15244 ÷ 32768     		x = 0.4652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8228 ÷ 215
    8228 ÷ 32768     		y = 0.2510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21859226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2510986328125 × 2 - 1) × π
    0.497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56389341320471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21859226} λ = -0.21859226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56389341320471))-π/2
    2×atan(4.77738541816006)-π/2
    2×1.36445596456331-π/2
    2.72891192912661-1.57079632675     		φ = 1.15811560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21859226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15811560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.355136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15244 KachelY 8228 -0.21859226 1.15811560 -12.524414 66.355136
    Oben rechts KachelX + 1 15245 KachelY 8228 -0.21840051 1.15811560 -12.513427 66.355136
    Unten links KachelX 15244 KachelY + 1 8229 -0.21859226 1.15803869 -12.524414 66.350729
    Unten rechts KachelX + 1 15245 KachelY + 1 8229 -0.21840051 1.15803869 -12.513427 66.350729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15811560-1.15803869) × R
    7.69099999999856e-05 × 6371000     		dl = 489.993609999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15811560-1.15803869) × R
    7.69099999999856e-05 × 6371000     		dr = 489.993609999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21859226--0.21840051) × cos(1.15811560) × R
    0.000191750000000018 × 0.401066443142179 × 6371000     		do = 489.958508800426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21859226--0.21840051) × cos(1.15803869) × R
    0.000191750000000018 × 0.401136895281904 × 6371000     		du = 490.044575899561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15811560)-sin(1.15803869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401066443142179-0.401136895281904)×R²
    abs(-0.21840051--0.21859226)×7.04521397250635e-05×R²
    0.000191750000000018×7.04521397250635e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.04521397250635e-05×40589641000000     		ar = 240097.624759919m²