Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15243 / 8329
↖ ↑ ↗
← N 65.906139°
W 12.535400°		 ← 498.71 m → N 65.906139°
W 12.524414°		 →
↑
498.79 m
↓
↑
498.79 m
↓
N 65.901653°
W 12.535400°		 ← 498.80 m →
248 773 m²		 N 65.901653°
W 12.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465194702148438 y=0.254196166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465194702148438 × 215)
    floor (0.465194702148438 × 32768)
    floor (15243.5)     		tx = 15243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254196166992188 × 215)
    floor (0.254196166992188 × 32768)
    floor (8329.5)     		ty = 8329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15243 / 8329 ti = "15/15243/8329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15243/8329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15243 ÷ 215
    15243 ÷ 32768     		x = 0.465179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8329 ÷ 215
    8329 ÷ 32768     		y = 0.254180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.06964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21878401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254180908203125 × 2 - 1) × π
    0.49163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54452690575821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21878401} λ = -0.21878401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54452690575821))-π/2
    2×atan(4.68575429918346)-π/2
    2×1.36053772267776-π/2
    2.72107544535552-1.57079632675     		φ = 1.15027912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21878401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.535400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15027912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.906139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15243 KachelY 8329 -0.21878401 1.15027912 -12.535400 65.906139
    Oben rechts KachelX + 1 15244 KachelY 8329 -0.21859226 1.15027912 -12.524414 65.906139
    Unten links KachelX 15243 KachelY + 1 8330 -0.21878401 1.15020083 -12.535400 65.901653
    Unten rechts KachelX + 1 15244 KachelY + 1 8330 -0.21859226 1.15020083 -12.524414 65.901653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15027912-1.15020083) × R
    7.82900000000364e-05 × 6371000     		dl = 498.785590000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15027912-1.15020083) × R
    7.82900000000364e-05 × 6371000     		dr = 498.785590000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21878401--0.21859226) × cos(1.15027912) × R
    0.000191749999999991 × 0.408232654304245 × 6371000     		do = 498.713033629723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21878401--0.21859226) × cos(1.15020083) × R
    0.000191749999999991 × 0.408304122265569 × 6371000     		du = 498.800341696393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15027912)-sin(1.15020083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408232654304245-0.408304122265569)×R²
    abs(-0.21859226--0.21878401)×7.14679613231795e-05×R²
    0.000191749999999991×7.14679613231795e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.14679613231795e-05×40589641000000     		ar = 248772.648849725m²