Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15242 / 8487
↖ ↑ ↗
← N 65.187641°
W 12.546387°		 ← 512.66 m → N 65.187641°
W 12.535400°		 →
↑
512.67 m
↓
↑
512.67 m
↓
N 65.183030°
W 12.546387°		 ← 512.75 m →
262 850 m²		 N 65.183030°
W 12.535400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465164184570312 y=0.259017944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465164184570312 × 215)
    floor (0.465164184570312 × 32768)
    floor (15242.5)     		tx = 15242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259017944335938 × 215)
    floor (0.259017944335938 × 32768)
    floor (8487.5)     		ty = 8487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15242 / 8487 ti = "15/15242/8487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15242/8487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15242 ÷ 215
    15242 ÷ 32768     		x = 0.46514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8487 ÷ 215
    8487 ÷ 32768     		y = 0.259002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.0697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21897576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259002685546875 × 2 - 1) × π
    0.48199462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51423078519833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21897576} λ = -0.21897576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51423078519833))-π/2
    2×atan(4.54592299035753)-π/2
    2×1.35426764572646-π/2
    2.70853529145293-1.57079632675     		φ = 1.13773896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21897576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.546387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13773896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.187641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15242 KachelY 8487 -0.21897576 1.13773896 -12.546387 65.187641
    Oben rechts KachelX + 1 15243 KachelY 8487 -0.21878401 1.13773896 -12.535400 65.187641
    Unten links KachelX 15242 KachelY + 1 8488 -0.21897576 1.13765849 -12.546387 65.183030
    Unten rechts KachelX + 1 15243 KachelY + 1 8488 -0.21878401 1.13765849 -12.535400 65.183030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13773896-1.13765849) × R
    8.04700000001102e-05 × 6371000     		dl = 512.674370000702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13773896-1.13765849) × R
    8.04700000001102e-05 × 6371000     		dr = 512.674370000702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21897576--0.21878401) × cos(1.13773896) × R
    0.000191749999999991 × 0.419647891453786 × 6371000     		do = 512.65833537966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21897576--0.21878401) × cos(1.13765849) × R
    0.000191749999999991 × 0.419720931666003 × 6371000     		du = 512.747564169732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13773896)-sin(1.13765849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419647891453786-0.419720931666003)×R²
    abs(-0.21878401--0.21897576)×7.30402122170459e-05×R²
    0.000191749999999991×7.30402122170459e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.30402122170459e-05×40589641000000     		ar = 262849.661914389m²