Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15242 / 8326
↖ ↑ ↗
← N 65.919590°
W 12.546387°		 ← 498.45 m → N 65.919590°
W 12.535400°		 →
↑
498.47 m
↓
↑
498.47 m
↓
N 65.915107°
W 12.546387°		 ← 498.54 m →
248 483 m²		 N 65.915107°
W 12.535400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465164184570312 y=0.254104614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465164184570312 × 215)
    floor (0.465164184570312 × 32768)
    floor (15242.5)     		tx = 15242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254104614257812 × 215)
    floor (0.254104614257812 × 32768)
    floor (8326.5)     		ty = 8326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15242 / 8326 ti = "15/15242/8326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15242/8326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15242 ÷ 215
    15242 ÷ 32768     		x = 0.46514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8326 ÷ 215
    8326 ÷ 32768     		y = 0.25408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.0697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21897576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25408935546875 × 2 - 1) × π
    0.4918212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54510214855365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21897576} λ = -0.21897576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54510214855365))-π/2
    2×atan(4.68845052100201)-π/2
    2×1.36065510829984-π/2
    2.72131021659968-1.57079632675     		φ = 1.15051389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21897576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.546387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15051389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.919590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15242 KachelY 8326 -0.21897576 1.15051389 -12.546387 65.919590
    Oben rechts KachelX + 1 15243 KachelY 8326 -0.21878401 1.15051389 -12.535400 65.919590
    Unten links KachelX 15242 KachelY + 1 8327 -0.21897576 1.15043565 -12.546387 65.915107
    Unten rechts KachelX + 1 15243 KachelY + 1 8327 -0.21878401 1.15043565 -12.535400 65.915107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15051389-1.15043565) × R
    7.82400000001182e-05 × 6371000     		dl = 498.467040000753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15051389-1.15043565) × R
    7.82400000001182e-05 × 6371000     		dr = 498.467040000753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21897576--0.21878401) × cos(1.15051389) × R
    0.000191749999999991 × 0.408018326706263 × 6371000     		do = 498.451202623669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21897576--0.21878401) × cos(1.15043565) × R
    0.000191749999999991 × 0.408089756522558 × 6371000     		du = 498.538464090875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15051389)-sin(1.15043565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408018326706263-0.408089756522558)×R²
    abs(-0.21878401--0.21897576)×7.14298162950988e-05×R²
    0.000191749999999991×7.14298162950988e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.14298162950988e-05×40589641000000     		ar = 248483.244166685m²