Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15241 / 10342
↖ ↑ ↗
← N 55.141210°
W 12.557373°		 ← 698.24 m → N 55.141210°
W 12.546387°		 →
↑
698.26 m
↓
↑
698.26 m
↓
N 55.134930°
W 12.557373°		 ← 698.34 m →
487 589 m²		 N 55.134930°
W 12.546387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465133666992188 y=0.315628051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465133666992188 × 215)
    floor (0.465133666992188 × 32768)
    floor (15241.5)     		tx = 15241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315628051757812 × 215)
    floor (0.315628051757812 × 32768)
    floor (10342.5)     		ty = 10342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15241 / 10342 ti = "15/15241/10342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15241/10342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15241 ÷ 215
    15241 ÷ 32768     		x = 0.465118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10342 ÷ 215
    10342 ÷ 32768     		y = 0.31561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.06976318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21916751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31561279296875 × 2 - 1) × π
    0.3687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15853899001752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21916751} λ = -0.21916751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15853899001752))-π/2
    2×atan(3.18527615463522)-π/2
    2×1.26659599430243-π/2
    2.53319198860486-1.57079632675     		φ = 0.96239566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21916751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.557373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96239566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.141210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15241 KachelY 10342 -0.21916751 0.96239566 -12.557373 55.141210
    Oben rechts KachelX + 1 15242 KachelY 10342 -0.21897576 0.96239566 -12.546387 55.141210
    Unten links KachelX 15241 KachelY + 1 10343 -0.21916751 0.96228606 -12.557373 55.134930
    Unten rechts KachelX + 1 15242 KachelY + 1 10343 -0.21897576 0.96228606 -12.546387 55.134930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96239566-0.96228606) × R
    0.000109599999999932 × 6371000     		dl = 698.261599999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96239566-0.96228606) × R
    0.000109599999999932 × 6371000     		dr = 698.261599999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21916751--0.21897576) × cos(0.96239566) × R
    0.000191750000000018 × 0.571555837708747 × 6371000     		do = 698.235044911702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21916751--0.21897576) × cos(0.96228606) × R
    0.000191750000000018 × 0.571645767999751 × 6371000     		du = 698.344907284957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96239566)-sin(0.96228606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571555837708747-0.571645767999751)×R²
    abs(-0.21897576--0.21916751)×8.99302910041255e-05×R²
    0.000191750000000018×8.99302910041255e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.99302910041255e-05×40589641000000     		ar = 487589.076462244m²