Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15240 / 3561
↖ ↑ ↗
← N 70.779678°
E154.863281°		 ← 804.31 m → N 70.779678°
E154.885254°		 →
↑
804.47 m
↓
↑
804.47 m
↓
N 70.772443°
E154.863281°		 ← 804.60 m →
647 158 m²		 N 70.772443°
E154.885254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.930206298828125 y=0.217376708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.930206298828125 × 214)
    floor (0.930206298828125 × 16384)
    floor (15240.5)     		tx = 15240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217376708984375 × 214)
    floor (0.217376708984375 × 16384)
    floor (3561.5)     		ty = 3561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15240 / 3561 ti = "14/15240/3561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15240/3561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15240 ÷ 214
    15240 ÷ 16384     		x = 0.93017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3561 ÷ 214
    3561 ÷ 16384     		y = 0.21734619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93017578125 × 2 - 1) × π
    0.8603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.70287415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21734619140625 × 2 - 1) × π
    0.5653076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77596625712384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70287415} λ = 2.70287415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77596625712384))-π/2
    2×atan(5.9059850802941)-π/2
    2×1.40306737322365-π/2
    2.8061347464473-1.57079632675     		φ = 1.23533842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70287415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23533842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.779678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15240 KachelY 3561 2.70287415 1.23533842 154.863281 70.779678
    Oben rechts KachelX + 1 15241 KachelY 3561 2.70325764 1.23533842 154.885254 70.779678
    Unten links KachelX 15240 KachelY + 1 3562 2.70287415 1.23521215 154.863281 70.772443
    Unten rechts KachelX + 1 15241 KachelY + 1 3562 2.70325764 1.23521215 154.885254 70.772443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23533842-1.23521215) × R
    0.000126269999999984 × 6371000     		dl = 804.466169999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23533842-1.23521215) × R
    0.000126269999999984 × 6371000     		dr = 804.466169999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70287415-2.70325764) × cos(1.23533842) × R
    0.000383489999999931 × 0.329201587288807 × 6371000     		do = 804.310186955345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70287415-2.70325764) × cos(1.23521215) × R
    0.000383489999999931 × 0.329320816331975 × 6371000     		du = 804.60148911701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23533842)-sin(1.23521215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329201587288807-0.329320816331975)×R²
    abs(2.70325764-2.70287415)×0.000119229043167801×R²
    0.000383489999999931×0.000119229043167801×6371000²
    0.000383489999999931×0.000119229043167801×40589641000000     		ar = 647157.507818521m²