Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15240 / 10341
↖ ↑ ↗
← N 55.147489°
W 12.568359°		 ← 698.09 m → N 55.147489°
W 12.557373°		 →
↑
698.20 m
↓
↑
698.20 m
↓
N 55.141210°
W 12.568359°		 ← 698.20 m →
487 442 m²		 N 55.141210°
W 12.557373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465103149414062 y=0.315597534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465103149414062 × 215)
    floor (0.465103149414062 × 32768)
    floor (15240.5)     		tx = 15240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315597534179688 × 215)
    floor (0.315597534179688 × 32768)
    floor (10341.5)     		ty = 10341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15240 / 10341 ti = "15/15240/10341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15240/10341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15240 ÷ 215
    15240 ÷ 32768     		x = 0.465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10341 ÷ 215
    10341 ÷ 32768     		y = 0.315582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.06982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21935925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315582275390625 × 2 - 1) × π
    0.36883544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.158730737616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21935925} λ = -0.21935925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.158730737616))-π/2
    2×atan(3.18588698224886)-π/2
    2×1.26665078722112-π/2
    2.53330157444224-1.57079632675     		φ = 0.96250525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21935925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96250525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.147489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15240 KachelY 10341 -0.21935925 0.96250525 -12.568359 55.147489
    Oben rechts KachelX + 1 15241 KachelY 10341 -0.21916751 0.96250525 -12.557373 55.147489
    Unten links KachelX 15240 KachelY + 1 10342 -0.21935925 0.96239566 -12.568359 55.141210
    Unten rechts KachelX + 1 15241 KachelY + 1 10342 -0.21916751 0.96239566 -12.557373 55.141210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96250525-0.96239566) × R
    0.000109589999999993 × 6371000     		dl = 698.197889999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96250525-0.96239566) × R
    0.000109589999999993 × 6371000     		dr = 698.197889999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21935925--0.21916751) × cos(0.96250525) × R
    0.000191739999999996 × 0.571465908758381 × 6371000     		do = 698.088776083094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21935925--0.21916751) × cos(0.96239566) × R
    0.000191739999999996 × 0.571555837708747 × 6371000     		du = 698.1986310892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96250525)-sin(0.96239566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571465908758381-0.571555837708747)×R²
    abs(-0.21916751--0.21935925)×8.99289503663026e-05×R²
    0.000191739999999996×8.99289503663026e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.99289503663026e-05×40589641000000     		ar = 487442.461248363m²