Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15240 / 10083
↖ ↑ ↗
← N 56.734649°
W 12.568359°		 ← 670.06 m → N 56.734649°
W 12.557373°		 →
↑
670.17 m
↓
↑
670.17 m
↓
N 56.728622°
W 12.568359°		 ← 670.16 m →
449 084 m²		 N 56.728622°
W 12.557373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465103149414062 y=0.307723999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465103149414062 × 215)
    floor (0.465103149414062 × 32768)
    floor (15240.5)     		tx = 15240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307723999023438 × 215)
    floor (0.307723999023438 × 32768)
    floor (10083.5)     		ty = 10083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15240 / 10083 ti = "15/15240/10083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15240/10083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15240 ÷ 215
    15240 ÷ 32768     		x = 0.465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10083 ÷ 215
    10083 ÷ 32768     		y = 0.307708740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.06982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21935925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307708740234375 × 2 - 1) × π
    0.38458251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2082016180239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21935925} λ = -0.21935925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2082016180239))-π/2
    2×atan(3.34745922582609)-π/2
    2×1.28050137281438-π/2
    2.56100274562877-1.57079632675     		φ = 0.99020642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21935925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99020642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.734649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15240 KachelY 10083 -0.21935925 0.99020642 -12.568359 56.734649
    Oben rechts KachelX + 1 15241 KachelY 10083 -0.21916751 0.99020642 -12.557373 56.734649
    Unten links KachelX 15240 KachelY + 1 10084 -0.21935925 0.99010123 -12.568359 56.728622
    Unten rechts KachelX + 1 15241 KachelY + 1 10084 -0.21916751 0.99010123 -12.557373 56.728622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99020642-0.99010123) × R
    0.000105189999999977 × 6371000     		dl = 670.165489999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99020642-0.99010123) × R
    0.000105189999999977 × 6371000     		dr = 670.165489999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21935925--0.21916751) × cos(0.99020642) × R
    0.000191739999999996 × 0.548517276410688 × 6371000     		do = 670.055288130701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21935925--0.21916751) × cos(0.99010123) × R
    0.000191739999999996 × 0.548605226860565 × 6371000     		du = 670.162726249003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99020642)-sin(0.99010123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548517276410688-0.548605226860565)×R²
    abs(-0.21916751--0.21935925)×8.79504498771944e-05×R²
    0.000191739999999996×8.79504498771944e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.79504498771944e-05×40589641000000     		ar = 449083.931570512m²