Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1524 / 2540
↖ ↑ ↗
← S 39.639537°
W 46.054687°		 ← 7 525.92 m → S 39.639537°
W 45.966797°		 →
↑
7 522.24 m
↓
↑
7 522.24 m
↓
S 39.707186°
W 46.054687°		 ← 7 518.55 m →
56 584 037 m²		 S 39.707186°
W 45.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3721923828125 y=0.6202392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3721923828125 × 212)
    floor (0.3721923828125 × 4096)
    floor (1524.5)     		tx = 1524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6202392578125 × 212)
    floor (0.6202392578125 × 4096)
    floor (2540.5)     		ty = 2540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1524 / 2540 ti = "12/1524/2540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1524/2540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1524 ÷ 212
    1524 ÷ 4096     		x = 0.3720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2540 ÷ 212
    2540 ÷ 4096     		y = 0.6201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3720703125 × 2 - 1) × π
    -0.255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80380593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6201171875 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.754718547618164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80380593} λ = -0.80380593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754718547618164))-π/2
    2×atan(0.470142918955338)-π/2
    2×0.439477941172668-π/2
    0.878955882345336-1.57079632675     		φ = -0.69184044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80380593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.054687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69184044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.639537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1524 KachelY 2540 -0.80380593 -0.69184044 -46.054687 -39.639537
    Oben rechts KachelX + 1 1525 KachelY 2540 -0.80227195 -0.69184044 -45.966797 -39.639537
    Unten links KachelX 1524 KachelY + 1 2541 -0.80380593 -0.69302114 -46.054687 -39.707186
    Unten rechts KachelX + 1 1525 KachelY + 1 2541 -0.80227195 -0.69302114 -45.966797 -39.707186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69184044--0.69302114) × R
    0.00118070000000003 × 6371000     		dl = 7522.23970000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69184044--0.69302114) × R
    0.00118070000000003 × 6371000     		dr = 7522.23970000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80380593--0.80227195) × cos(-0.69184044) × R
    0.00153398000000005 × 0.770073200977456 × 6371000     		do = 7525.91505877055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80380593--0.80227195) × cos(-0.69302114) × R
    0.00153398000000005 × 0.769319430290659 × 6371000     		du = 7518.54846796408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69184044)-sin(-0.69302114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770073200977456-0.769319430290659)×R²
    abs(-0.80227195--0.80380593)×0.000753770686797828×R²
    0.00153398000000005×0.000753770686797828×6371000²
    0.00153398000000005×0.000753770686797828×40589641000000     		ar = 56584036.9764337m²