Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15238 / 10309
↖ ↑ ↗
← N 55.347889°
W 12.590332°		 ← 694.61 m → N 55.347889°
W 12.579346°		 →
↑
694.69 m
↓
↑
694.69 m
↓
N 55.341642°
W 12.590332°		 ← 694.72 m →
482 582 m²		 N 55.341642°
W 12.579346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465042114257812 y=0.314620971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465042114257812 × 215)
    floor (0.465042114257812 × 32768)
    floor (15238.5)     		tx = 15238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314620971679688 × 215)
    floor (0.314620971679688 × 32768)
    floor (10309.5)     		ty = 10309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15238 / 10309 ti = "15/15238/10309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15238/10309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15238 ÷ 215
    15238 ÷ 32768     		x = 0.46502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10309 ÷ 215
    10309 ÷ 32768     		y = 0.314605712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.0699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21974275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314605712890625 × 2 - 1) × π
    0.37078857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16486666076736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21974275} λ = -0.21974275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16486666076736))-π/2
    2×atan(3.20549543640403)-π/2
    2×1.26839961247552-π/2
    2.53679922495104-1.57079632675     		φ = 0.96600290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21974275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.590332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96600290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.347889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15238 KachelY 10309 -0.21974275 0.96600290 -12.590332 55.347889
    Oben rechts KachelX + 1 15239 KachelY 10309 -0.21955100 0.96600290 -12.579346 55.347889
    Unten links KachelX 15238 KachelY + 1 10310 -0.21974275 0.96589386 -12.590332 55.341642
    Unten rechts KachelX + 1 15239 KachelY + 1 10310 -0.21955100 0.96589386 -12.579346 55.341642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96600290-0.96589386) × R
    0.000109040000000005 × 6371000     		dl = 694.69384000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96600290-0.96589386) × R
    0.000109040000000005 × 6371000     		dr = 694.69384000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21974275--0.21955100) × cos(0.96600290) × R
    0.000191749999999991 × 0.56859215723035 × 6371000     		do = 694.614496514732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21974275--0.21955100) × cos(0.96589386) × R
    0.000191749999999991 × 0.568681852288002 × 6371000     		du = 694.724071517691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96600290)-sin(0.96589386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56859215723035-0.568681852288002)×R²
    abs(-0.21955100--0.21974275)×8.96950576523281e-05×R²
    0.000191749999999991×8.96950576523281e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.96950576523281e-05×40589641000000     		ar = 482582.472921044m²