Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15238 / 10076
↖ ↑ ↗
← N 56.776808°
W 12.590332°		 ← 669.34 m → N 56.776808°
W 12.579346°		 →
↑
669.34 m
↓
↑
669.34 m
↓
N 56.770789°
W 12.590332°		 ← 669.45 m →
448 049 m²		 N 56.770789°
W 12.579346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465042114257812 y=0.307510375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465042114257812 × 215)
    floor (0.465042114257812 × 32768)
    floor (15238.5)     		tx = 15238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307510375976562 × 215)
    floor (0.307510375976562 × 32768)
    floor (10076.5)     		ty = 10076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15238 / 10076 ti = "15/15238/10076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15238/10076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15238 ÷ 215
    15238 ÷ 32768     		x = 0.46502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10076 ÷ 215
    10076 ÷ 32768     		y = 0.3074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.0699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21974275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3074951171875 × 2 - 1) × π
    0.385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20954385121326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21974275} λ = -0.21974275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20954385121326))-π/2
    2×atan(3.35195531342301)-π/2
    2×1.28086928533689-π/2
    2.56173857067377-1.57079632675     		φ = 0.99094224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21974275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.590332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99094224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.776808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15238 KachelY 10076 -0.21974275 0.99094224 -12.590332 56.776808
    Oben rechts KachelX + 1 15239 KachelY 10076 -0.21955100 0.99094224 -12.579346 56.776808
    Unten links KachelX 15238 KachelY + 1 10077 -0.21974275 0.99083718 -12.590332 56.770789
    Unten rechts KachelX + 1 15239 KachelY + 1 10077 -0.21955100 0.99083718 -12.579346 56.770789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99094224-0.99083718) × R
    0.00010505999999999 × 6371000     		dl = 669.337259999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99094224-0.99083718) × R
    0.00010505999999999 × 6371000     		dr = 669.337259999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21974275--0.21955100) × cos(0.99094224) × R
    0.000191749999999991 × 0.547901880012212 × 6371000     		do = 669.338441771675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21974275--0.21955100) × cos(0.99083718) × R
    0.000191749999999991 × 0.547989764154363 × 6371000     		du = 669.44580448918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99094224)-sin(0.99083718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547901880012212-0.547989764154363)×R²
    abs(-0.21955100--0.21974275)×8.78841421513288e-05×R²
    0.000191749999999991×8.78841421513288e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.78841421513288e-05×40589641000000     		ar = 448049.089973654m²