Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15237 / 8492
↖ ↑ ↗
← N 65.164579°
W 12.601319°		 ← 513.10 m → N 65.164579°
W 12.590332°		 →
↑
513.18 m
↓
↑
513.18 m
↓
N 65.159964°
W 12.601319°		 ← 513.19 m →
263 340 m²		 N 65.159964°
W 12.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465011596679688 y=0.259170532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465011596679688 × 215)
    floor (0.465011596679688 × 32768)
    floor (15237.5)     		tx = 15237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259170532226562 × 215)
    floor (0.259170532226562 × 32768)
    floor (8492.5)     		ty = 8492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15237 / 8492 ti = "15/15237/8492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15237/8492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15237 ÷ 215
    15237 ÷ 32768     		x = 0.464996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8492 ÷ 215
    8492 ÷ 32768     		y = 0.2591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.07000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21993450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2591552734375 × 2 - 1) × π
    0.481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51327204720593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21993450} λ = -0.21993450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51327204720593))-π/2
    2×atan(4.54156672986605)-π/2
    2×1.35406639198922-π/2
    2.70813278397843-1.57079632675     		φ = 1.13733646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21993450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.601319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13733646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.164579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15237 KachelY 8492 -0.21993450 1.13733646 -12.601319 65.164579
    Oben rechts KachelX + 1 15238 KachelY 8492 -0.21974275 1.13733646 -12.590332 65.164579
    Unten links KachelX 15237 KachelY + 1 8493 -0.21993450 1.13725591 -12.601319 65.159964
    Unten rechts KachelX + 1 15238 KachelY + 1 8493 -0.21974275 1.13725591 -12.590332 65.159964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13733646-1.13725591) × R
    8.05500000000681e-05 × 6371000     		dl = 513.184050000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13733646-1.13725591) × R
    8.05500000000681e-05 × 6371000     		dr = 513.184050000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21993450--0.21974275) × cos(1.13733646) × R
    0.000191750000000018 × 0.420013201459149 × 6371000     		do = 513.104612420702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21993450--0.21974275) × cos(1.13725591) × R
    0.000191750000000018 × 0.420086300670952 × 6371000     		du = 513.193913286985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13733646)-sin(1.13725591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420013201459149-0.420086300670952)×R²
    abs(-0.21974275--0.21993450)×7.3099211803096e-05×R²
    0.000191750000000018×7.3099211803096e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.3099211803096e-05×40589641000000     		ar = 263340.017108951m²