Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15236 / 10128
↖ ↑ ↗
← N 56.462490°
W 12.612305°		 ← 674.90 m → N 56.462490°
W 12.601319°		 →
↑
674.94 m
↓
↑
674.94 m
↓
N 56.456420°
W 12.612305°		 ← 675.01 m →
455 556 m²		 N 56.456420°
W 12.601319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464981079101562 y=0.309097290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464981079101562 × 215)
    floor (0.464981079101562 × 32768)
    floor (15236.5)     		tx = 15236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309097290039062 × 215)
    floor (0.309097290039062 × 32768)
    floor (10128.5)     		ty = 10128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15236 / 10128 ti = "15/15236/10128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15236/10128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15236 ÷ 215
    15236 ÷ 32768     		x = 0.4649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10128 ÷ 215
    10128 ÷ 32768     		y = 0.30908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22012624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30908203125 × 2 - 1) × π
    0.3818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19957297609229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22012624} λ = -0.22012624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19957297609229))-π/2
    2×atan(3.31869945610174)-π/2
    2×1.2781263447979-π/2
    2.5562526895958-1.57079632675     		φ = 0.98545636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22012624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98545636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.462490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15236 KachelY 10128 -0.22012624 0.98545636 -12.612305 56.462490
    Oben rechts KachelX + 1 15237 KachelY 10128 -0.21993450 0.98545636 -12.601319 56.462490
    Unten links KachelX 15236 KachelY + 1 10129 -0.22012624 0.98535042 -12.612305 56.456420
    Unten rechts KachelX + 1 15237 KachelY + 1 10129 -0.21993450 0.98535042 -12.601319 56.456420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98545636-0.98535042) × R
    0.000105940000000082 × 6371000     		dl = 674.943740000523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98545636-0.98535042) × R
    0.000105940000000082 × 6371000     		dr = 674.943740000523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22012624--0.21993450) × cos(0.98545636) × R
    0.000191739999999996 × 0.552482784839583 × 6371000     		do = 674.899456231103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22012624--0.21993450) × cos(0.98535042) × R
    0.000191739999999996 × 0.552571085304299 × 6371000     		du = 675.007321918971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98545636)-sin(0.98535042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552482784839583-0.552571085304299)×R²
    abs(-0.21993450--0.22012624)×8.83004647160845e-05×R²
    0.000191739999999996×8.83004647160845e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.83004647160845e-05×40589641000000     		ar = 455555.565174484m²