Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 15233 / 10619
↖ ↑ ↗
← N 76.358376°
W 96.322632°		 ← 144.05 m → N 76.358376°
W 96.317139°		 →
↑
144.11 m
↓
↑
144.11 m
↓
N 76.357080°
W 96.322632°		 ← 144.07 m →
20 761 m²		 N 76.357080°
W 96.317139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232444763183594 y=0.162040710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232444763183594 × 216)
    floor (0.232444763183594 × 65536)
    floor (15233.5)     		tx = 15233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162040710449219 × 216)
    floor (0.162040710449219 × 65536)
    floor (10619.5)     		ty = 10619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15233 / 10619 ti = "16/15233/10619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15233/10619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15233 ÷ 216
    15233 ÷ 65536     		x = 0.232437133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10619 ÷ 216
    10619 ÷ 65536     		y = 0.162033081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232437133789062 × 2 - 1) × π
    -0.535125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.68114707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162033081054688 × 2 - 1) × π
    0.675933837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12350877936925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68114707} λ = -1.68114707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12350877936925))-π/2
    2×atan(8.36042095559719)-π/2
    2×1.45175069713997-π/2
    2.90350139427994-1.57079632675     		φ = 1.33270507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68114707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.322632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33270507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.358376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15233 KachelY 10619 -1.68114707 1.33270507 -96.322632 76.358376
    Oben rechts KachelX + 1 15234 KachelY 10619 -1.68105120 1.33270507 -96.317139 76.358376
    Unten links KachelX 15233 KachelY + 1 10620 -1.68114707 1.33268245 -96.322632 76.357080
    Unten rechts KachelX + 1 15234 KachelY + 1 10620 -1.68105120 1.33268245 -96.317139 76.357080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33270507-1.33268245) × R
    2.26199999999732e-05 × 6371000     		dl = 144.112019999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33270507-1.33268245) × R
    2.26199999999732e-05 × 6371000     		dr = 144.112019999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68114707--1.68105120) × cos(1.33270507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235848159782646 × 6371000     		do = 144.053171572243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68114707--1.68105120) × cos(1.33268245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235870141610261 × 6371000     		du = 144.066597803712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33270507)-sin(1.33268245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235848159782646-0.235870141610261)×R²
    abs(-1.68105120--1.68114707)×2.19818276150086e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19818276150086e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19818276150086e-05×40589641000000     		ar = 20760.7609844548m²